Streng monoton Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in dieses Forum gestellt : ![[]](/images/popup.gif) www.uni-protokolle.de
Wie sollte ich beweisen, dass man aus jeder Zahlenfolge eine STRENG monoton Teilfolge auswählen kann? Und die Menge der Werte dieser Zahlenfolge ist unendlich.
Ich weiss, dass es Wahrheit ist, aber ich habe keine Idee, wie es ich beweisen sollte. Ich habe einen Rat bekommen: ich sollte zwei Fälle überlegen
1. die Zahlenfolge ist unbeschränkt
2. die Zahlenfolge ist beschränkt, dann sollte ich irgendwie der Satz von Weierstrass benutzen, dass jede Teilfolge der beschränkten Zahlenfolge konvergiert...
Ich weiss zwar nicht, ob dieser Rat wirklich benutzlich sein kann, aber es ist das Einzige, dass ich bisher habe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Do 08.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pharaoh!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Und das hier? www.uni-protokolle.de
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 08.12.2005 | | Autor: | pharaoh428 |
Ich habe meine Frage ins andere Forum gegeben nachdem ich hatte sie hier gegeben (ich wusste damals nicht, dass ich es tun werde)... so habe ich nicht gelogen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Do 08.12.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Das Problem mit dieser Frage ist wohl, dass die Aussage nicht stimmt. Betrachte z.B. die Folge [mm] $a_n=1$. [/mm] Da die Folge konstant ist, gibt es auch keine streng monotone Teilfolge...
Bist du sicher, dass die Angabe vollständig ist?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 08.12.2005 | | Autor: | pharaoh428 |
Ja ich habe vergessen eine sehr vichtige Einzelhait zu erwähnen und zwar diese: Und die Menge der Werte dieser Zahlenfolge ist unendlich.
(Jetzt habe ich es schon in meiner Frage schreiben).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Der unbeschränkte Fall ist ja trivial.
Jetzt zum beschränkten Fall:
Ist die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt, dann gibt es eine konvergente Teilfolge [mm](a_n')[/mm] (nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß) mit Grenzwert $a$. Es gibt nun entweder unendlich viele Werte [mm]a_n'[/mm] mit [mm]a_n' \ge a [/mm] oder unendlich viele Werte [mm]a_n'[/mm] mit [mm]a_n' \leq a[/mm]. Es gibt also eine Teilfolge [mm](a_n'')_{n \in \IN}[/mm] von [mm](a_n')_{n \in \IN}[/mm], die nur von einer Seite gegen $a$ konvergiert.
Jetzt wählen wir uns die monotone Folge wie folgt:
Es gelte oBdA [mm] $a_n'' [/mm] < a$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Es seien [mm] $a_1''',\ldots,a_{n-1}'''$ [/mm] schon echt aufsteigend gewählt. Dann findet man wegen der Konvergenz von [mm] $(a_n'')_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $a$ ein [mm] $a_n'''$ [/mm] mit
$a - [mm] a_n''' [/mm] < [mm] a-a_{n-1}''':= \varepsilon>0$,
[/mm]
also mit [mm] $a_n''' [/mm] > [mm] a_{n-1}'''$.
[/mm]
Dann ist [mm] $(a_n''')_{n \in \IN}$ [/mm] die gesuchte Folge.
Liebe Grüße
Julius
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