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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt induzierte Norm

Skalarprodukt induzierte Norm < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Skalarprodukt induzierte Norm: Hilfe, Aufgaben, Hilfestellung

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:33 Sa 18.06.2011
Autor:	onycro

Hallo Forum.

Unzwar gilt es eine Norm zu finden die nicht von einem Skalarprodukt induziert wird.

D.h. sie darf die Parallelogrammgleichung
[mm]\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)[/mm]
nicht erfüllen. Richtig?

Oder ist das hier:
[mm]\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}[/mm]
eher mein Schlüssel zur Lösung?

Ich weiß leider nicht wie ich da richtig rangehe.
Ich danke euch schonmal für die Mühe.
MfG Onycro

Ach und übrigens, da ich Crossposting auch nicht mag:

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Skalarprodukt induzierte Norm: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:25 So 19.06.2011
Autor:	meili

Hallo Onycro,

[willkommenmr]

> Hallo Forum.
>
> Unzwar gilt es eine Norm zu finden die nicht von einem
> Skalarprodukt induziert wird.
>
> D.h. sie darf die Parallelogrammgleichung
>  [mm]\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)[/mm]
>  nicht erfüllen. Richtig?

Ja, das stimmt. Es hilft zwar nicht auf der Suche (oder Konstruktion) nach
einer Norm, die nicht von einem Skalarprodukt induziert wird, man kann damit
aber eine Norm darauf testen, ob sie von einem Skalarprodukt induziert ist.
>
> Oder ist das hier:
>  [mm]\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}[/mm]
>  eher mein Schlüssel zur
> Lösung?

Das ist einfach die Definition, der von dem Skalarprodukt < . , . >
induzierten Norm.
Hilft auch nicht direkt ein Gegenbeispiel zu finden.
>
> Ich weiß leider nicht wie ich da richtig rangehe.

Am besten gehst Du die Dir bekannten Vektorräume mit den
verschiedenen Normen durch und testest sie mit der Parallelogrammgleichung.
Zur Inspiration empfehle ich

diese Wikipedia-Seite.
>  Ich danke euch schonmal für die Mühe.
> MfG Onycro
>
> Ach und übrigens, da ich Crossposting auch nicht mag:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili