Schur-Woodbury-Identität < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 17.06.2012 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | [mm] A \in \IR^{n \times n}, D \in \IR^{m \times m} [/mm] invertierbare Matrizen und [mm] U,V \in \IR^{n \times m}[/mm] . Weiterhin sei [mm] M = \pmat{ A & U \\ V^T & D } \in \IR^{(n+m) \times (n+m)} [/mm] eine invertierbare Matrix
mit der Inversen [mm] M^{-1} = \pmat{ E & F \\ G & H } [/mm].
Beweisen Sie die folgende Identität von Schur und Woodbury:
[mm] (A- UD^{-1}V^T)^{-1} = A^{-1} + A^{-1}U(D-V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} [/mm]
Leiten Sie dazu Darstellungen von E,F,G und H her. |
Hallo Leute,
hier habe ich leider überhaupt keine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Irgendwie muss ich E,F,G und H durch A,D,V und U ausdrücken denke ich. Aber wie komme ich auf [mm] M^{-1} [/mm] ?
Habt ihr eine Idee??
Viele Grüße
Katthi
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Die Identität weiß du nach, in dem Du
[mm] (A- UD^{-1}V^T)^{-1} \cdot U[/mm] rechnest mit [mm]U:= A^{-1} + A^{-1}U(D-V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}[/mm].
Bei dem anderen wird das ein haufen Rechnung sein.
Das ist anscheinend die Verallgemeinerung von der Shermann-Morrison-Woodbury-Formel:
http://www.math.ufl.edu/~hager/papers/Lightning/update.pdf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 17.06.2012 | | Autor: | Katthi |
Ja das habe ich auch gefunden, dass das überall irgendwie anders heißt:D haben da ja auch in der VL nie drüber geredet, weshalb ich auch garkeinen Ansatzpunkt irgendwie erkennen kann.
Aber ich muss das ja irgendwie auf die Inverse [mm] M^{-1} [/mm] beziehen... also zumindest habe ich das so verstanden, dass ich die Identität eben durch dieses E,F,G und H zeigen soll... Also folgt jetzt eine Megarechnung meinst du?! :D
LG
Katthi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 17.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Bei der Shermann-Morrison-Woodbury-Formel sind u,v Vektoren.
Es sind ja zwei Aufgaben. Das erste ist wirklich nur ausmultiplizieren und nicht weiter kompliziert.
Vielleicht kann man bei der zweiten [mm] $MM^{-1}$ [/mm] ausrechnen und auch wieder mit der Darstellung der Blockmatrizen arbeiten, um sich dann auf den ersten Teil zu beziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 So 17.06.2012 | | Autor: | Katthi |
bei dem Ausmultiplizieren muss ich aber doch die linke Seite nicht mehr ^(-1) rechnen, wenn ich die multipliziere oder? ich will doch quasi zeigen, dass dann die Identität rauskommt?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Katthi |
also ich habe dann doch noch eine richtige Frage zum Zeigen der Identität.
Da ich doch nur allgemeine Matrizen habe, wobei nur A und D invertierbar sind, dann weiß ich doch garnicht, wie ich meinen Ausdruck in der Klammer invetieren soll? Kann den doch garnicht irgendwie vereinfachen, weil es gilt doch nicht einfach z.B. [mm] (A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1} [/mm] ?!
und wenn ich [mm] M*M^{-1} [/mm] berechne, habe ich ja nur eine Matrix, die von allen Variablen abhängt. ich müsste die doch dann irgendwie mit der identität zusammenbringen oder? Sodass ich dann sagen kann, wie E F G und H in Abhängigkeit von ADVU haben oder nicht?!
Viele Grüße
Katthi
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> also ich habe dann doch noch eine richtige Frage zum Zeigen
> der Identität.
> Da ich doch nur allgemeine Matrizen habe, wobei nur A und
> D invertierbar sind, dann weiß ich doch garnicht, wie ich
> meinen Ausdruck in der Klammer invetieren soll? Kann den
> doch garnicht irgendwie vereinfachen, weil es gilt doch
> nicht einfach z.B. [mm](A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}[/mm] ?!
Das gilt doch nicht!
edit: Siehe nächsten Beitrag mit richtigen Bezeichnungen
>
> und wenn ich [mm]M*M^{-1}[/mm] berechne, habe ich ja nur eine
> Matrix, die von allen Variablen abhängt.
Und wie sieht die in Block-Matrix-Schreibweise aus?
> ich müsste die
> doch dann irgendwie mit der identität zusammenbringen
> oder? Sodass ich dann sagen kann, wie E F G und H in
> Abhängigkeit von ADVU haben oder nicht?!
>
> Viele Grüße
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Katthi |
hmm leider komme ich trotzdem nicht auf die Identität beim ausmultiplizieren. du hast irgendwie ne andere Formel ausmultipliziert...
ja die Matrix sieht folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ AE + UG & AF+UH \\ V^TE+DG & V^TF+DH} [/mm]
aber wie komme ich dann auf die Blöcke der Inversen? könnte man das ganze dann gleich der EInheitsmatrix setzen? also quasi oben rechts und unten links eine nullmatrix und links oben und rechts unten die Einheitsmatrix? kann man dadurch ein quasi Gleichungssystem aufstellen Oder ist das Blödsinn?
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Ich hatte doch nur andere Bezeichnung:
[mm]\left(A+UD^{-1}V^T \right) \left( A^{-1} - A^{-1}U \left(D+V^TA^{-1}U \right)^{-1} V^TA^{-1} \right) [/mm]
[mm] \quad = I + UD^{-1}V^TA^{-1} - (U+UD^{-1}V^TA^{-1}U)(D + V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} [/mm]
[mm] \quad = I + UD^{-1}V^TA^{-1} - UD^{-1}(D+ V^TA^{-1}U)(D + V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}[/mm]
[mm] \quad = I + UD^{-1}V^TA^{-1} - UD^{-1}V^TA^{-1} = I [/mm]
Probier mal auf
[mm]\pmat{ A & U \\
V^T & D } = \pmat{ I & 0 \\
V^TA^{-1} & I } \pmat{ A & 0 \\
0 & D-V^TA^{-1}U } \pmat{ I & A^{-1}U \\
0 & I }[/mm]
zu kommen. Ist eigentlich analog normalen Umformen.
Betrachte
[mm]\pmat{ A & U \\
V^T & D }[/mm]
Beachte A ist invertierbar:
[mm]\pmat{ I & 0 \\
-V^TA^{-1} & I }
\pmat{ A & U \\
V^T & D } = \pmat{ A & U \\
0 & D-V^TA^{-1}U }[/mm]
...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Katthi |
hatte irgendwie ne andere formel gesehen... naja egal.. danke schonmal dafür.
aber ich verstehe nicht, was ich mit der matrix machen soll, bzw wie ich auf diese Zerlegung kommen soll. also überhaupt worauf du damit hinaus willst... =(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mo 18.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
wenn du auf
[mm] \pmat{ A & U \\
V^T & D } = \pmat{ I & 0 \\
V^TA^{-1} & I } \pmat{ A & 0 \\
0 & D-V^TA^{-1}U } \pmat{ I & A^{-1}U \\
0 & I } [/mm]
kommst, dann hast du doch schon gewonnen!
Die Matrizen rechts lassen sich alle schön invertieren. Mit
[mm]W=XYZ\Rightarrow W^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}x^{-1}[/mm] und mit [mm]\pmat{ I & A^{-1}U \\
0 & I }^{-1}=\pmat{ I & -A^{-1}U \\
0 & I }[/mm] erhälst du
[mm] \pmat{ A & U \\
V^T & D }^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}+A^{-1}U(D-V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} & -A^{-1}U(D-V^TA^{-1}U)^{-1} \\
-(D-V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} & (D-V^TA^{-1}U)^{-1} \end{pmatrix}[/mm]
Das ist das Ziel.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:54 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Katthi |
voll gut, genau diese EInträge habe ich auch durch das LGS gelöst, dass ich nach dem multiplizieren von M mit ihrer Inversen bekommen habe. yeah...
aber jetzt direkt benutzen muss ich die Identität dafür doch nicht um EFG und H zu bestimmen? also außer, dass man dann den EIntrag für E durch die Identität vereinfachn kann... oder??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 20.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mo 18.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
beantwortet im Beitrag:
https://matheraum.de/read?i=898062
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