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Forum "Topologie und Geometrie" - Schnittpunkt von Umkreisen
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Schnittpunkt von Umkreisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Di 15.05.2012
Autor: imagemixer

Aufgabe
Auf den Seiten des Dreiecks abc seien Punkte a' [mm] \in [/mm] bc, b' [mm] \in [/mm] und [mm] c'\in [/mm] ab gewählt, keiner davon eine Dreiecksecke. Weiter seien [mm] K_{a} [/mm] der Umkreis von ab'c', [mm] K_{b} [/mm] der Umkreis von bc'a'
und [mm] K_{c} [/mm] der Umkreis von ca'b'.
Zeigen Sie: [mm] K_{a}, K_{b} [/mm] und [mm] K_{c} [/mm] schneiden sich in einem Punkt.
Hinweis: Innenwinkelsumme im Dreieck und Satz vom Sehnenviereck.

Hallo, ich habe diese Frage zwar in keinem anderen Forum gestellt, aber mir fehlt hierzu der jegliche Ansatz.
Wie muss ich hier überhaupt vorgehen ? Die Innenwinkelsumme im Dreieck und der Satz vom Sehnenviereck ist mir bereits bekannt und geläufig.

Vielen Dank!
Liebe Grüße

        
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Di 15.05.2012
Autor: reverend

Hallo imagemixer,

wenn man in der Geometrie gerade keinen Ansatz hat, empfiehlt sich immer eine gute Skizze eines möglichst allgemeinen Beispiels.

Wenn Du die am Rechner erstellen willst und kein entsprechendes Programm hast, probier mal GeoGebra - gute Freeware.

> Auf den Seiten des Dreiecks abc seien Punkte a' [mm]\in[/mm] bc, b'
> [mm]\in[/mm] und [mm]c'\in[/mm] ab gewählt, keiner davon eine Dreiecksecke.
> Weiter seien [mm]K_{a}[/mm] der Umkreis von ab'c', [mm]K_{b}[/mm] der Umkreis
> von bc'a'
>  und [mm]K_{c}[/mm] der Umkreis von ca'b'.
>  Zeigen Sie: [mm]K_{a}, K_{b}[/mm] und [mm]K_{c}[/mm] schneiden sich in einem
> Punkt.
>  Hinweis: Innenwinkelsumme im Dreieck und Satz vom
> Sehnenviereck.

>

>  Hallo, ich habe diese Frage zwar in keinem anderen Forum
> gestellt, aber mir fehlt hierzu der jegliche Ansatz.
>  Wie muss ich hier überhaupt vorgehen ? Die
> Innenwinkelsumme im Dreieck und der Satz vom Sehnenviereck
> ist mir bereits bekannt und geläufig.

Welcher Satz vom Sehnenviereck denn? Mir fallen da mehrere ein, und Wikipedia hat glatt noch mehr. Gegenüberliegende Winkel?

Überleg doch nebenbei mal, ob der Schnittpunkt der drei Umkreise nicht "zufällig" einer der "besonderen Punkte" des Dreiecks a'b'c' ist...

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Mi 16.05.2012
Autor: weduwe

der hinweis scheint mir völlig ausreichend.
gemeint ist (ziemlich sicher :-) ) im sehnen4eck die winkelsumme gegenüberliegender winkel

Bezug
                        
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Mi 16.05.2012
Autor: imagemixer

Danke für eure Antworten. Für die, die das vielleicht in der Zukunft brauchen:
Man definiert einfach s als den Schnittpunkt von beispielsweise [mm] K_{a}, K_{b}. [/mm] Die Innenwinkel der Ecken, die a und b nun gegenüberliegen [mm] betragen180-\alpha [/mm] und [mm] 180-\beta [/mm] (man bildet Vierecke mit je einer Ecke, zwei der Punkte a',b' oder c' und dem Punkt s). Dann kommt man durch Umformungen auf den dritten fehlenden Winkel um Punkt s: [mm] 180-\gamma [/mm] und sieht dass es noch einen dritten Viereck (Sehnenviereck) gibt. Also gehen alle Kreise durch s und das war ja, was wir zeigen wollten.

Bezug
                                
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mi 16.05.2012
Autor: weduwe

genauso einfach ist es
man könnte das ganze natürlich exakter formulieren :-)

Bezug
                                
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 16.05.2012
Autor: reverend

Hallo imagemixer,

gut so.

> Danke für eure Antworten. Für die, die das vielleicht in
> der Zukunft brauchen:
>  Man definiert einfach s als den Schnittpunkt von
> beispielsweise [mm]K_{a}, K_{b}.[/mm]

Es gibt allerdings zwei Schnittpunkte.

> Die Innenwinkel der Ecken, die
> a und b nun gegenüberliegen [mm]betragen180-\alpha[/mm] und
> [mm]180-\beta[/mm] (man bildet Vierecke mit je einer Ecke, zwei der
> Punkte a',b' oder c' und dem Punkt s). Dann kommt man durch
> Umformungen auf den dritten fehlenden Winkel um Punkt s:
> [mm]180-\gamma[/mm] und sieht dass es noch einen dritten Viereck
> (Sehnenviereck) gibt. Also gehen alle Kreise durch s und
> das war ja, was wir zeigen wollten.

Und - ist s nun ein "besonderer Punkt" im Dreieck a'b'c' ?

Grüße
reverend


Bezug
                                        
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:53 Mi 16.05.2012
Autor: imagemixer

Stimmt natürlich, ich dachte mir jedoch, dass Ihr darauf nicht mehr reagiert. Falsch gedacht.

Zwei Schnittpunkte gibt es bei den 2 Kreisen, aber man kann ja o.B.d.A von einem der Schnittpunkte ausgehend gucken, ob der dritte Kreis auch durch diesen Punkt geht.



>
> Und - ist s nun ein "besonderer Punkt" im Dreieck a'b'c' ?

Es sieht aus wie der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden: der Inkreismittelpunkt. Stimmt das?

> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                                
Bezug
Schnittpunkt von Umkreisen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 18.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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