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Quadratische Funktionen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:37 Di 18.11.2003
Autor: Ute

Hallo Matheraum! Ihr habt mir bisher immer so super geholfen und deshalb bitte ich euch um Hilfe bei meinem nächsten Matheproblem:

Die Funktion f hat den Term f(x) = -0,011 x² + 64,6

a) Berechne die Nullstellen der Funktion f
b) Zeige, dass für x ungleich 0 alle Funktionswerte kleiner sind als der Funktionswert f(0)
c) Begründe, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur 2. Koordinatenachse ist. Vergleiche dazu die Funktionswerte an den Stellen x und -x.

zu Aufgabe a: Das wird ja mit der pg-Formel gelöst. Da ich kein p habe, habe ich für die beiden Nullstellen folgende Ergebnisse raus: 76,63 und -76,63.
Stimmt das??

        
Bezug
Quadratische Funktionen: a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Di 18.11.2003
Autor: Marc

Hallo Ute,

> Hallo Matheraum! Ihr habt mir bisher immer so super geholfen
> und deshalb bitte ich euch um Hilfe bei meinem nächsten
> Matheproblem:

Schön, das freut mich!

> Die Funktion f hat den Term f(x) = -0,011 x² + 64,6
>
> a) Berechne die Nullstellen der Funktion f
> b) Zeige, dass für x ungleich 0 alle Funktionswerte kleiner
> sind als der Funktionswert f(0)
> c) Begründe, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur 2.
> Koordinatenachse ist. Vergleiche dazu die Funktionswerte an den
> Stellen x und -x.
>
> zu Aufgabe a: Das wird ja mit der pg-Formel gelöst. Da ich kein
> p habe, habe ich für die beiden Nullstellen folgende Ergebnisse
> raus: 76,63 und -76,63.
> Stimmt das??

Ja, [ok]

Zunächst einmal: die Lösung muß nicht unbedingt über die pq-Formel erfolgen, man kann auch die quadratische Ergänzung anwenden oder es "zu Fuß" ausrechnen. Ich führe mal die pq-Formel und die "zu Fuß"-Methode vor:

Die Gleichung zur Bestimmung von Nullstellen lautet:
[mm] f(x)=0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] -0{,}011 x^2 + 64{,}6 = 0 [/mm]
(dividieren durch -0,001, um die Gleichung zu "normieren":)
[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] x^2 - 5872{,}72 = 0 [/mm]

1. pq-Formel
Da kein Ausdruck mit "x" in dieser Gleichung vorkommt, ist p=0. q, also die Zahl ohne "x", ist hier q=-5872,72

Einsetzen in die pq-Formel:

[mm] x_{1/2} = -\frac{0}{2} \pm \sqrt{0+5872,72} [/mm]
[mm] x_{1/2} = \pm 76,63 [/mm]
[mm] x_1 = 76{,}63 [/mm] oder [mm] x_2 = -76{,}63 [/mm]

2. "zu Fuß"
[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] x^2 = 5872{,}72 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] x_1 = 76{,}63 [/mm] oder [mm] x_2 = -76{,}63 [/mm]

Mmh, dieser Lösungsweg ist wohl ein bißchen kürzer, aber man sollte denjenigen wählen, der einem am besten liegt ;-)

Die restlichen Antworten kommen gleich...

Gruß,
Marc


Bezug
        
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Di 18.11.2003
Autor: Marc

Hallo Ute,

> b) Zeige, dass für x ungleich 0 alle Funktionswerte kleiner
> sind als der Funktionswert f(0)

Hier gibt es auch verschiedene Herangehensweisen, hast du noch Hinweise darauf, welche hier zu wählen ist?

Die cleverste ist hier, mit der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnungsrichtung der Parabel zu argumentieren. Kommen dir diese Begriffe bekannt vor? Falls ja, dann machen wir hier weiter.

Eine weitere Möglichkeit ist das Lösen einer Quadratischen Ungleichung -- macht ihr sowas zufällig zur Zeit in der Schule?

> c) Begründe, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur 2.
> Koordinatenachse ist. Vergleiche dazu die Funktionswerte an den
> Stellen x und -x.

Was Symmetrie ist, dürfte klar sein.
Nehme doch mal den Tipp auf und "vergleiche"
f(x) mit
f(-x)
Was fällt dir da auf? Welche Rückschlüsse auf die Symmetrie läßt das zu?

Bis gleich,
Marc.


Bezug
                
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:28 Di 18.11.2003
Autor: Ute

da a<0 ist, weiß ich, dass die Parabel nach unten geöffnet ist (Hochpunkt)
der Scheitelpunkt ist 0/64,6. STimmt das?

Mehr fällt mir auch nicht ein zu b.

Und zu c: Was ist Symmetrie?



Nachricht bearbeitet (Di 18.11.03 20:29)

Bezug
                        
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Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Di 18.11.2003
Autor: Marc

Hallo Ute,

> da a<0 ist, weiß ich, dass die Parabel nach unten geöffnet ist
> (Hochpunkt)
> der Scheitelpunkt ist 0/64,6. STimmt das?

Ja, genau, so geht es am schnellsten.
Da der Scheitelpunkt bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt ist, sind alle anderen Funktionswerte kleiner als der y-Wert des Scheitelpunktes, und damit die Fragbe beantwortet.

> Und zu c: Was ist Symmetrie?

Hier geht es um Symmetrie zu einer Geraden. Die Frage ist hier, ob die 2. Koordinatenachse (also die y-Achse) eine Spiegelachse des Graphen ist, also ob der Graph auch sich selbst abgebildet würde, wenn du ihn an der y-Achse spiegelst.
Ist das hier der Fall, und wenn ja, wie kann man das dann rechnerisch begründen (dafür ist der Tipp mit f(x) und f(-x)).

Gruß,
Marc.


Bezug
                                
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 20.11.2003
Autor: Ute

Ich bin mit der Symmetrie immer noch nciht weiter gekommen. Ich verstehe nichts
Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Do 20.11.2003
Autor: ministel

Hallo Ute!

Ich zeige dir mal anhand einer anderen Funktion, wie man Symmetrie nachweist, damit dus bei deiner Aufgabe gleich mal ausprobieren kannst, ok?

Also nehmen wir zum Beispiel die Funktion:
[mm]g(x) = x^4 - x^2[/mm]
Wenn du nun überprüfen möchtest, ob die Funktion (wie in deinem Fall) achsensymmetrisch ist, musst du zeigen, dass gilt: f(-x) = f(x).
Wenn du dir eine (zur y-Achse) achsensymmetrische Funktion mal aufzeichnest, wirst du sehen, dass du zum Beispiel den "linken Ast" des Graphen (also den Teil über der negativen x-Achse) genau dann erhälst, wenn du den "rechten Ast" an der y-Achse spiegelst. Das heißt also, dass immer k und -k die gleichen Funktionswerte haben. Du kannst also für k jede beliebige Zahl einsetzen, und wenn du das dann in die Funktionsgleichung einsetzt, bekommst du sowohl für k als auch -k das gleiche Ergebnis. Wenn du dir das nicht vorstellen kannst, skizziere dir deine Funktion mal (oder einfacher: nimm einfach x²) und schau dir das an.
Jetzt aber zum Nachweis:
Setze also -x in die Gleichung ein, dann erhälst du:
[mm]g(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = (-1*x)^4 - (-1*x)^2 = (-1)^4*x^4 - (-1)^2x^2 = 1*x^4 - 1*x^2 = x^4 - x^2 = g(x)[/mm]

Kannst du das jetzt bei deiner Funktion auch nachweisen?

Bezug
                                                
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

habe Ute auch geantwortet, weil ich irrtümlich davon ausging, sie sei erst in der 9. Klasse (weil es ja Stoff der 9. Klasse ist und wir auch im 9. Klasse Forum sind) -- dann wäre nämlich dein Beispiel mit [mm] x^4 [/mm] zu kompliziert für sie gewesen. Aber da habe ich wohl geirrt, lasse meine Antwort aber trotzdem stehen. So hat Utre zwei ;-)

Gruß,
Marc


Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Funktionen: b)+c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo Ute,

ich habe den Graph deiner Funktion jetzt man gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]

An ihm siehst du sehr schön seine Symmetrie: Der Graph sind links von der y-Achse (der senkrechten Achse) genauso aus wie auf der rechten Seite, beide Seiten sind Spiegelbilder voneinander.
Noch eine Umschreibung für die Symmetrie: Stelle dir das obige Bild ausdgedruckt auf einem Blatt Papier vor, und falte es genau entlang der senkrechten Linie -- wenn du nun das Papier gegen das Licht hälst, liegen die beiden Graphen-Linien exakt übereinander.

Um dem mathematischen Kriterium für die Symmetrie etwas näherzukommen berechne doch mal folgende Funktionswerte:

f(10) und f(-10)
f(20) und f(-20)
f(30) und f(-30)

Was fällt dir da auf?

Warum muß das, was dir aufgefallen ist, auch so sein, weil es eine symmetrischer Graph ist?

Rechne aber erst mal die obigen Funktionswerte aus und schreibe uns diese, dann machen wir weiter.

Bis gleich,
Marc


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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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