Punktmenge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Punktmenge von B
B := {z [mm] \in\IC [/mm] :|z-1| = |z-i|}. |
Hallo,
Würde man hier nicht sagen |-1|=|-i| => i = 1 ?
und wäre dann nicht z = x + b ? Und die Punktmenge somit im Prinzip jeder Punkt???
In meinen Lösungen steht, dass einmal |z|= 1+0i uns |z|=0+i ist.
D.h. hier wurde also |z-1| bzw. |z-i| gleich 0 gesetzt. Aber wieso?
und dann steht noch in meinen Lösungen, dass eine Gerade die Punkmenge darstellt, was ich auch nicht ganz verstehe.
Ich hoffe mir kann das hier jemand erklären, danke schonmal.
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Skizzieren Sie die Punktmenge von B
>
> B := [mm]\{z \in\IC :|z-1| = |z-i|\}[/mm].
Mengen schreibt man innerhalb von (Latex)Formeln so: [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm]. [/mm] (Tipp: Anstatt der Doppel-m's kannst Du die Formeln auch in zwei Dollarzeichen einkleiden.) Also mit einem Backslash vor dem { bzw. }.
> Hallo,
>
> Würde man hier nicht sagen |-1|=|-i| => i = 1 ?
Nach Deiner "Theorie" gilt also auch $|z-i|=|z|=|z-0| [mm] \Rightarrow [/mm] |-i|=0$? Und das, obwohl $|z-i|=z$ offensichtlich für [mm] $z=\frac{i}{2}$ [/mm] stimmt? 
> und wäre dann nicht z = x + b ? Und die Punktmenge somit im
> Prinzip jeder Punkt???
>
> In meinen Lösungen steht, dass einmal |z|= 1+0i uns |z|=0+i
> ist.
>
> D.h. hier wurde also |z-1| bzw. |z-i| gleich 0 gesetzt.
> Aber wieso?
Nein, dort wurde mit der Formel [mm] $|z|^2=x^2+y^2$ [/mm] für $z=x+i*y$ gearbeitet. Aber so ganz verstehe ich das nicht, was dort angeblich gemacht wurde, das liegt aber vll. daran, dass Du da sicher etwas aus dem Zusammenhang reißt.
> und dann steht noch in meinen Lösungen, dass eine Gerade
> die Punkmenge darstellt, was ich auch nicht ganz verstehe.
Na, erklären wir es mal. Es gilt für jedes komplexe $z [mm] \in \IC\,$ [/mm] (wobei [mm] $\overline{z}$ [/mm] die zu [mm] $\black{z}$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl bezeichne) dass
$|z-1|=|z-i| [mm] \underset{\text{da linkerhand beide Seiten }\ge 0}{\gdw} (z-1)*\overline{(z-1)}=(z-i)*\overline{(z-i)} \gdw (z-1)(\overline{z}-\overline{1})=(z-i)*(\overline{z}-\overline{i})$
[/mm]
[mm] $\underset{\overline{i}=-i,\;\overline{1}=1}{\gdw} z*\overline{z}-\overline{z}-z+1=z*\overline{z}-i*\overline{z}+i*z+1 \gdw -(z+\overline{z})=i(z-\overline{z}) \underset{z=x+iy \text{ mit }x=\text{Re}(z),y=\text{Im}(z)}{\gdw} y=x\,.$
[/mm]
Du kannst natürlich auch direkt so anfangen ($z=x+i*y$):
1.) [mm] $|z-1|=|(x-1)+i*y|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$
[/mm]
2.) [mm] $|z-i|=|x+(y-1)*i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$
[/mm]
Also:
$|z-1|=|z-i| [mm] \gdw \sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2} \gdw [/mm] ...$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Die letzte Lösung finde ich ziemlich gut.
Allerdings hätte ich da noch eine Frage: [mm] |z-i|=\wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}
[/mm]
Wieso steht da [mm] (y-1)^{2}? [/mm]
[mm] i^{2}=-1 [/mm] ist klar, aber bei [mm] (y-i)^{2} [/mm] kann man das ja nicht ersetzen?
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> [mm]|z-i|=\wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}[/mm]
>
>
> Wieso steht da [mm](y-1)^{2}?[/mm]
>
> [mm]i^{2}=-1[/mm] ist klar, aber bei [mm](y-i)^{2}[/mm] kann man das ja nicht
> ersetzen?
$\ z=x+i*y$
[mm]|z-i|=|x+i*y-i|=|x+i*(y-1)|=\wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Punktmenge von C:
C := [mm] {2-i+(4e)^{it}, t \in [0,2\pi[ }.
[/mm]
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Hier noch eine weitere Teilaufgabe.
Mein Problem hier ist, dass ich versuchen würde den Imaginärteil und Realteil zu bestimmen, nur kann man den Exponenten mit it nicht einfach umstellen.
Bei den Lösungen steht jetzt aber, dass man den Teil mit [mm] (4e)^{it} [/mm] in trigon. Schreibweise hinschreibt,
z = 2 - i + 4(cos t + i sin t)
Meine Frage ist jetzt, wie man das so schreiben kann?
Es gilt ja z = r * (cos [mm] \alpha [/mm] + i sin [mm] \alpha)
[/mm]
und dann auch noch
[mm] z^{n} [/mm] = [mm] r^{n} [/mm] * (cos n [mm] \alpha [/mm] + i sin n [mm] \alpha)
[/mm]
Nur wie man dann auf diese Schreibweise kommt verstehe ich nicht.
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> Skizzieren Sie die Punktmenge von C:
>
> C := [mm]\{2-i+(4e)^{it}, t \in [0,2\pi[ \}.[/mm]
>
Die Klammer ist ziemlich sicher falsch gesetzt.
Es sollte wohl heissen:
[mm] 2-i+4*e^{it}
[/mm]
wenn mit Klammern, dann so:
[mm] 2-i+4*(e^{it})
[/mm]
> Bei den Lösungen steht jetzt aber, dass man den Teil mit
> [mm]4*e^{it}[/mm] in trigon. Schreibweise hinschreibt,
>
> z = 2 - i + 4(cos t + i sin t)
>
> Meine Frage ist jetzt, wie man das so schreiben kann?
>
> Es gilt ja z = r * (cos [mm]\alpha[/mm] + i sin [mm]\alpha)[/mm]
>
> und dann auch noch
>
> [mm]z^{n}[/mm] = [mm]r^{n}[/mm] * (cos n [mm]\alpha[/mm] + i sin n [mm]\alpha)[/mm]
Um die Gleichung [mm] e^{i*t}=cos(t)+i*sin(t) [/mm] zu verstehen,
braucht man die Reihendarstellungen (Taylorreihen):
[mm] e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^4}{4!}+\bruch{x^5}{5!}+\bruch{x^6}{6!}+ [/mm] .....
[mm] cos(x)=1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+ [/mm] .....
[mm] sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+ [/mm] .....
Wenn du in diese Gleichungen für $\ x$ den Ausdruck $\ i*t$
einsetzt und dann verwendest, dass $\ [mm] i^2=-1\ [/mm] ,\ [mm] i^3=-i\ [/mm] ,\ [mm] i^4=1$ [/mm] etc.,
dann erhältst du die gewünschte Herleitung.
Um dann die Punktmenge C zu zeichnen, zerlegst du
z in Real- und Imaginärteil:
$\ z=x+i*y$ mit $\ z=2+4*cos(t)$ und $\ y=-1+4*sin(t)$
t kann man sich dann als einen Winkel denken.
Der Buchstabe C für die Menge ist bewusst gewählt
(Anfangsbuchstabe des gesuchten geometrischen
Objekts in Latein, französisch oder englisch ...)
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Kann man das vllt. auch irgendwie ohne der Taylor-Reihe herausfinden? Denn die haben wir komischerweise noch nicht behandelt.
Die Menge wird ja dann am Ende als Kreis dargestellt mit r=4 und dem Mittelpunkt (2/-1).
Also könnte man da z.B. den Radius 4 einfach herauslesen sowie die Verschiebung um 2?
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> Kann man das vllt. auch irgendwie ohne der Taylor-Reihe
> herausfinden? Denn die haben wir komischerweise noch nicht
> behandelt.
Wenn Ausdrücke mit [mm] e^{it} [/mm] verwendet werden, müsste
eigentlich etwas in der Richtung gemacht worden sein.
Sonst nimm es einfach einmal so an:
[mm] z=r*(cos(t)+i*sin(t))=r*cis(t)=r*e^{it}
[/mm]
sind äquivalente Darstellungen einer komplexen Zahl.
> Die Menge wird ja dann am Ende als Kreis dargestellt mit
> r=4 und dem Mittelpunkt (2/-1). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also könnte man da z.B. den Radius 4 einfach herauslesen
> sowie die Verschiebung um 2?
Verschiebung um 2-i : 2 nach rechts, 1 nach unten
Allgemein: Der Kreis mit Mittelpunkt m=u+iv und Radius r
in der Gaußschen Ebene kann beschrieben werden durch die
Gleichung:
$\ [mm] z=m+r*e^{it}\qquad (0\le [/mm] t [mm] <2\pi)$
[/mm]
schönen Sonntag noch !
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hallo Nina,
|z|=|z-0| ist der Abstand des Punktes z vom Punkt 0 (0=0+0*i)
|z-1| ist der Abstand des Punktes z vom Punkt 1 (1=1+0*i)
|z-i| ist der Abstand des Punktes z vom Punkt i (i=0+i*1)
Die gesuchte Menge B ist also die Menge der Punkte
in der komplexen Zahlenebene, welche von den beiden
Punkten 1 und i gleich weit entfernt sind.
Das klingt doch nach einer der ersten Konstruktionen,
die man mal mit Zirkel und Lineal gemacht hat ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Das ist ziemlich gut erklärt, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:54 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Punktmenge von
[mm] A:={z\in\IC: 2\le|z-1-3i|<3} [/mm] |
Hallo,
ist dann hier
[mm] 2\le|z-1-3i| [/mm] => |z| [mm] \ge [/mm] 3+3i => [mm] \wurzel{18}
[/mm]
|z-1-3i|<3 =>|z| < 4 + 3i => 5
Ist dann |z| zwischen [mm] \wurzel{18} [/mm] und 5?
Ist die Punktmenge dann also zwischen dem Kreis mit Radius [mm] \wurzel{18} [/mm] und dem Kreis mit Radius 5 und könnte mir vllt. noch jemand sagen wie man [mm] \wurzel{18} [/mm] ausrechnet, wenn man gerade keinen Taschenrechner da hat?
Gruß und danke.
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> Skizzieren Sie die Punktmenge von
>
> [mm]A:={z\in\IC: 2\le|z-1-3i|<3}[/mm]
> Hallo,
>
> ist dann hier
>
> [mm]2\le|z-1-3i|[/mm] => |z| [mm]\ge[/mm] 3+3i => [mm]\wurzel{18}[/mm]
>
> |z-1-3i|<3 =>|z| < 4 + 3i => 5
>
> Ist dann |z| zwischen [mm]\wurzel{18}[/mm] und 5?
>
> Ist die Punktmenge dann also zwischen dem Kreis mit Radius
> [mm]\wurzel{18}[/mm] und dem Kreis mit Radius 5 und könnte mir vllt.
> noch jemand sagen wie man [mm]\wurzel{18}[/mm] ausrechnet, wenn man
> gerade keinen Taschenrechner da hat?
Die Kreise haben die Radien 2 bzw. 3 und den gemeinsamen
Mittelpunkt m=1+3i
Zur Berechnung von Wurzeln käme das etwa zweitausend Jahre
alte Verfahren von Heron in Frage. Dazu muss man allerdings
dividieren - eine Kunst, die im Zeitalter der Taschenrechner
auch schon wieder im Untergang ist:
Wähle einen Wert [mm] x_0, [/mm] der ungefähr hinkommt, für [mm] \wurzel{18} [/mm]
also z.B. [mm] x_0=4
[/mm]
Berechne
$\ [mm] x_1=\bruch{1}{2}*\left(x_0+\bruch{18}{x_0}\right)$
[/mm]
$\ [mm] x_2=\bruch{1}{2}*\left(x_1+\bruch{18}{x_1}\right)$
[/mm]
$\ [mm] x_3=\bruch{1}{2}*\left(x_2+\bruch{18}{x_2}\right)$
[/mm]
.......
Die so errechneten Werte nähern sich der gesuchten
Wurzel sehr schnell.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Kann man den Radius dann einfach hier herauslesen? Oder kann man da auch irgendwie rechnerisch drauf kommen?
Und wie zeichne ich dann r<3? Mit 2,9?
Lg.
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> Kann man den Radius dann einfach hier herauslesen? Oder
> kann man da auch irgendwie rechnerisch drauf kommen?
>
> Und wie zeichne ich dann r<3? Mit 2,9?
>
> Lg.
Die Menge $\ [mm] A=\{z\in\IC: 2\le|z-1-3i|<3\}$ [/mm] ist das durch die
beiden Kreise
$\ [mm] c_1:\ |z-1-3i|=2\qquad \qquad [/mm] m=1+3i,\ [mm] r_1=2$
[/mm]
$\ [mm] c_2:\ |z-1-3i|=3\qquad \qquad [/mm] m=1+3i,\ [mm] r_2=3$
[/mm]
berandete Kreisringgebiet, welches man färben oder schraf-
fieren kann. Um anzudeuten, dass [mm] c_1 [/mm] zu A gehört, zeichnet
man diesen Kreis mit durchgezogenem Strich. Den Kreis [mm] c_2, [/mm]
der nicht zu A gehört, zeichnet man gestrichelt.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | 2. Aufg.: Skizzieren Sie die Punktmenge zu
[mm] B:=\{z\in\IC:|z>2| \ und \ Re(z)\ge0\}
[/mm]
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Hallo,
also ist ja der Radius größer 2
und es muss ja ein Halbkreis sein im I und IV. Quadranten oder?
Kann man das dann so skizzieren, dass man einen Halbkreis zeichnen und alles außerhalb schraffiert?
Und ist dann der Mittelpunkt hier immer der Ursprung oder kann man den auch verschieben?
Viele Grüße.
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