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Produkt (Kategorientheorie): cartesisches Produkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 21.03.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Kann mir jemand erklären, wieso das cartesische Produkt das Produkt der Kategorientheorie in der Kategorie der Mengen ist?




Also in der Kategorientheorie versteht man unter einem Produkt von Objekten [mm] $A_i, i\in [/mm] I$ ja ein Paar

[mm] $(P,\left\{pr_i~|~i\in I\right\})$, [/mm] wo P ein Objekt ist und [mm] $pr_i: P\to A_i$ [/mm] die Projektionen sind.

Siehe z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie)

Und dort steht auch:

"In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt."


Nun kenne ich das cartesische Produkt von Mengen [mm] A_i [/mm] als

[mm] $\prod_{i\in I}A_i:=\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall~i\in I\right\}$ [/mm]


Wo ist da der Zusammenhang bzw.

Wie lautet das Paar beim cartesisches Produkt?!


Ich erkenne einfach nicht, warum die Aussage

"In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt."

stimmt.



Für Hilfe bzw. eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.

LG dennis2


        
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 21.03.2012
Autor: felixf

Moin dennis2!

> Kann mir jemand erklären, wieso das cartesische Produkt
> das Produkt der Kategorientheorie in der Kategorie der
> Mengen ist?
>  
>
>
> Also in der Kategorientheorie versteht man unter einem
> Produkt von Objekten [mm]A_i, i\in I[/mm] ja ein Paar
>
> [mm](P,\left\{pr_i~|~i\in I\right\})[/mm], wo P ein Objekt ist und
> [mm]pr_i: P\to A_i[/mm] die Projektionen sind.
>  
> Siehe z.B. hier:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie)
>  
> Und dort steht auch:
>  
> "In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige
> Definition dem kartesischen Produkt."
>  
>
> Nun kenne ich das cartesische Produkt von Mengen [mm]A_i[/mm] als
>  
> [mm]\prod_{i\in I}A_i:=\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall~i\in I\right\}[/mm]
>  
>
> Wo ist da der Zusammenhang bzw.
>  
> Wie lautet das Paar beim cartesisches Produkt?!

Nun, das Paar ist [mm] $(\prod_{i\in I} A_i, \{ \pi_i \mid i \in I \})$ [/mm] mit [mm] $\pi_i [/mm] : [mm] \prod_{i\in I} \to A_i$, [/mm] $a [mm] \mapsto [/mm] a(i)$.

> Ich erkenne einfach nicht, warum die Aussage
>  
> "In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige
> Definition dem kartesischen Produkt."
>  
> stimmt.

Ueberleg es dir doch erstmal im Fall $I = [mm] \{ 1, 2 \}$; [/mm] dann ist [mm] $\prod_{i \in I} A_i [/mm] = [mm] A_1 \times A_2$: [/mm] eine Funktion $a : [mm] \{ 1, 2 \} \to A_1 \cup A_2$ [/mm] mit $a(i) [mm] \in A_i$ [/mm] entspricht gerade einem Paar $(a(1), a(2))$.

Die Funktion [mm] $\pi_1$ [/mm] weist hier dem Paar $(a(1), a(2))$ den Wert $a(1)$ zu, also die erste Koordinate, und die Funktion [mm] $\pi_2$ [/mm] den Wert $a(2)$, also die zweite Koordinate.

LG Felix


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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Mi 21.03.2012
Autor: dennis2

Das bedeutet: Im unendlichen Fall bzw. überabzählbaren Fall ist das Paar:


[mm] $\left(\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall i\in I\right\}, \left\{\pi_i~|~i\in I\right\}\right)$ [/mm]

- oder habe ich Dich missverstanden?


In dem von dir beschriebenen endlichen Fall kann ich mir das ja noch ganz gut vorstellen, aber hier irgendwie nicht...


Das Objekt P wäre hier dann eine Menge von Abbildungen...


Also mir ist das noch sehr schleierhaft.

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Produkt (Kategorientheorie): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mi 21.03.2012
Autor: dennis2

hab mir jetzt echt den kopf drüber zerbrochen. jetzt ists genug

naja ich warte mal nochn bisschen bis vllt. eine antwort kommt :-)

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Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 21.03.2012
Autor: tobit09

Hallo Dennis,

> Das bedeutet: Im unendlichen Fall bzw. überabzählbaren
> Fall ist das Paar:
>
> [mm]\left(\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall i\in I\right\}, \left\{\pi_i~|~i\in I\right\}\right)[/mm]

Genau. (Gilt übrigens auch im endlichen Fall.)

> In dem von dir beschriebenen endlichen Fall kann ich mir
> das ja noch ganz gut vorstellen, aber hier irgendwie
> nicht...
>
> Das Objekt P wäre hier dann eine Menge von Abbildungen...
>
> Also mir ist das noch sehr schleierhaft.

Im von Felix genannten Fall [mm] $I=\{1,2\}$ [/mm] entsprechen die Elemente [mm] $a\in [/mm] P$ den Paaren

     [mm] (a_1,a_2) [/mm]

mit [mm] a_1=a(1)\in A_1 [/mm] und [mm] a_2=a(2)\in A_2. [/mm]

Im Falle [mm] I=\IN_0 [/mm] entsprechen die Elemente [mm] $a\in [/mm] P$ den Folgen

     [mm] $(a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots)$ [/mm]

mit [mm] a_n=a(n)\in A_n [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$. [/mm]

Im Falle einer beliebigen Indexmenge I entsprechen die Elemente [mm] $a\in [/mm] P$ den Familien

     [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm]

mit [mm] $a_i=a(i)\in A_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.

[mm] (a_i)_{i\in I} [/mm] ist formal typischerweise lediglich als abkürzende Schreibweise für die Funktion

     [mm] $a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i, i\mapsto a_i$ [/mm]

definiert. Aber diese Schreibweise ist sehr suggestiv:
Ein Element von P kannst du dir vorstellen vorstellen als Zusammenstellung von je einem Element aus jedem [mm] A_i. [/mm]

Zusammengefasst:

     [mm] $\produkt_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i \mbox{ für alle }i\in I\}$ [/mm]

Viele Grüße
Tobias

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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mi 21.03.2012
Autor: dennis2

Den Wiki-Artikel zum cartesischen Produkt hatte ich bisher immer so verstanden, dass man nur im endlichen Fall auf diese Tupelschreibweise zurückgreifen kann.


Und außerdem verstehe ich nicht, wieso man sagt, dass das kategorientheoretische Produkt in der kategorie der mengen dem kartesischen Produkt enstpricht.


Schließlich hat man doch in dem einen Fall ein Paar... und in dem anderen Fall nicht... wie kann sich das dann "entsprechen"..

Bezug
                                        
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Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Mi 21.03.2012
Autor: tobit09


> Den Wiki-Artikel zum cartesischen Produkt hatte ich bisher
> immer so verstanden, dass man nur im endlichen Fall auf
> diese Tupelschreibweise zurückgreifen kann.

Im Wikipedia-Artikel wird zunächst das endliche kartesische Produkt mithilfe der Tupel-Schreibweise eingeführt. Später beim allgemeineren kartesischen Produkt wird der Bezug zum schon eingeführten Fall hergestellt. Die "Familien-Schreibweise" kommt gar nicht vor, daher wird auch kein Bezug zu ihr hergestellt.

> Und außerdem verstehe ich nicht, wieso man sagt, dass das
> kategorientheoretische Produkt in der kategorie der mengen
> dem kartesischen Produkt enstpricht.
>
> Schließlich hat man doch in dem einen Fall ein Paar... und
> in dem anderen Fall nicht... wie kann sich das dann
> "entsprechen"..

Die Formulierung, dass das kategorientheoretische Produkt in der Kategorie der Mengen dem kartesischen Produkt entpreche, ist ungenau. Genau genommen müsste es heißen, das Paar aus dem kartesischen Produkt und der Familie der zugehörigen Projektionsabbildungen sei ein kategorientheoretisches Produkt in der Kategorie der Mengen.

Dennoch ist es nicht unüblich, von einem kategorientheoretischen Produkt P zu sprechen, wenn man meint, die "zugehörigen" Projektionsabbildungen seien klar. Genauso wie man zum Beispiel vom Körper [mm] \IR [/mm] spricht, obwohl die Menge [mm] \IR [/mm] sicherlich kein Körper ist, sondern nur die Menge [mm] \IR [/mm] zusammen mit den als klar vorausgesetzten Verknüpfungen + und *.

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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Do 22.03.2012
Autor: dennis2

Erstmal vielen Dank. Ich habe diese Verständnisfrage gestellt, weil ich mit der folgenden Aufgabe zu tun habe und ein bisschen damit kämpfe:

"Sei [mm] $p_i\colon A\to A_i, i\in [/mm] I$ ein cartesisches Produkt und sei [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ ein Isomorphismus (d.h. es existiert ein Morphismus [mm] $g\colon A\to [/mm] B$ mit [mm] $g\circ h=id_B, h\circ g=id_A$). [/mm]

Man zeige, daß dann auch [mm] $p_i\circ h=B\to A_i, i\in [/mm] I$

ein cartesisches Produkt ist. "


Zunächst wieder eine Verständnisfrage.

Es sei also [mm] $p_i: A\to A_i$ [/mm] ein cartesisches Produkt.


Was bedeutet das?

Das Paar [mm] $(A,\left\{p_i~|~i\in I\right\})$? [/mm]

Wie hängt das wieder mit

[mm] $\prod_{i\in I}A_i=\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall i\in I\right\}$ [/mm]

zusammen? Was ist hier z.B. $I$?



Also irgendwie verwirrt mich das Thema. :-)

Bezug
                                                        
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Do 22.03.2012
Autor: tobit09


> "Sei [mm]p_i\colon A\to A_i, i\in I[/mm] ein cartesisches Produkt
> und sei [mm]h\colon B\to A[/mm] ein Isomorphismus (d.h. es existiert
> ein Morphismus [mm]g\colon A\to B[/mm] mit [mm]g\circ h=id_B, h\circ g=id_A[/mm]).
>  
> Man zeige, daß dann auch [mm]p_i\circ h=B\to A_i, i\in I[/mm]
>  
> ein cartesisches Produkt ist. "
>
> Zunächst wieder eine Verständnisfrage.
>  
> Es sei also [mm]p_i: A\to A_i[/mm] ein cartesisches Produkt.
>  
>
> Was bedeutet das?
>  
> Das Paar [mm](A,\left\{p_i~|~i\in I\right\})[/mm]?

Genau. Wieder so eine ungenaue Sprechweise: Man gibt nur die zweite Komponente des Paares an und hält die erste Komponente für klar.

> Wie hängt das wieder mit
>
> [mm]\prod_{i\in I}A_i=\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~|~a(i)\in A_i~\forall i\in I\right\}[/mm]
>  
> zusammen?

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe: Gar nicht. Mit kartesischen Produkten sind in dieser Aufgabenstellung dann kategorientheoretische Produkte in einer beliebigen Kategorie gemeint, nicht kartesische Produkte in der Kategorie der Mengen. Steht nicht über der Aufgabe so etwas wie "Sei eine beliebige Kategorie gegeben."?

> Was ist hier z.B. [mm]I[/mm]?

Eine beliebige ("Index-")Menge.

Hier eine Neuformulierung der Aufgabenstellung, wie ich sie verstehe:

Sei eine beliebige Kategorie gegeben. Sei $I$ eine beliebige Menge. Seien [mm] $A_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$ Objekte der Kategorie. Sei [mm] $(A,\{p_i|i\in I\})$ [/mm] mit [mm] $p_i\colon A\to A_i$ [/mm] ein kategorientheoretisches Produkt der [mm] $A_i$. [/mm] Sei $B$ ein weiteres Objekt der Kategorie und [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ ein Isomorphismus.
Zeige: [mm] $(B,\{p_i\circ h|i\in I\})$ [/mm] ist ebenfalls ein kategorientheoretisches Produkt der [mm] $A_i$. [/mm]

> Also irgendwie verwirrt mich das Thema. :-)

Vielleicht weniger das Thema, als die nicht erklärten ungenauen Ausdrucksweisen.

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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Do 22.03.2012
Autor: dennis2


> Steht nicht über der Aufgabe so
> etwas wie "Sei eine beliebige Kategorie gegeben."?

Leider nicht. Andererseits steht da aber auch nicht, dass es sich um die Kategorie der Mengen handelt. Von daher wird wohl in der Tat eine beliebige Kategorie gemeint sein.


> Hier eine Neuformulierung der Aufgabenstellung, wie ich sie
> verstehe:
>  
> Sei eine beliebige Kategorie gegeben. Sei [mm]I[/mm] eine beliebige
> Menge. Seien [mm]A_i[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm] Objekte der Kategorie.
> Sei [mm](A,\{p_i|i\in I\})[/mm] mit [mm]p_i\colon A\to A_i[/mm] ein
> kategorientheoretisches Produkt der [mm]A_i[/mm]. Sei [mm]B[/mm] ein weiteres
> Objekt der Kategorie und [mm]h\colon B\to A[/mm] ein Isomorphismus.
>  Zeige: [mm](B,\{p_i\circ h|i\in I\})[/mm] ist ebenfalls ein
> kategorientheoretisches Produkt der [mm]A_i[/mm].
>  

So finde ich das schon wesentlich klarer.



> > Also irgendwie verwirrt mich das Thema. :-)
> Vielleicht weniger das Thema, als die nicht erklärten
> ungenauen Ausdrucksweisen.

Das ist gut möglich; der Professor neigt in meinen Augen sowieso zu sehr speziellen Sprechweisen, die sich einem oft nicht so richtig erschließen wollen. Zumindest mir nicht.

------------------

Da die "Formalitäten" dieser Aufgabe nun (denke ich) für mich klar sind, frage ich mich, wie man denn eigentlich nachweist, dass es sich um ein kategorientheoretisches Produkt handelt.

Muss man (um in der Sprache dieses Wikipedia-Artikels: http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie) zu bleiben) zeigen, dass es für jedes Objekt C und die Morphismenfamilie [mm] $(f_i)_{i\in I}$ [/mm] von C nach [mm] $A_i$ [/mm] genau einen Morphismus f von C nach B gibt mit [mm] $f_i=(p_i\circ h)\circ [/mm] f$?

Edit:

Also ich habe mir da mal so eine Skizze gemacht, die ich gleich hier als Datei anhänge. Gleichzeitig soll das auch meine Beweis sein. Ich weiß jedoch nicht, inwiefern das als Beweis ausreicht.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Do 22.03.2012
Autor: tobit09


> Da die "Formalitäten" dieser Aufgabe nun (denke ich) für
> mich klar sind, frage ich mich, wie man denn eigentlich
> nachweist, dass es sich um ein kategorientheoretisches
> Produkt handelt.
>  
> Muss man (um in der Sprache dieses Wikipedia-Artikels:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie) zu
> bleiben) zeigen, dass es für jedes Objekt C und die
> Morphismenfamilie [mm](f_i)_{i\in I}[/mm] von C nach [mm]A_i[/mm] genau (!) einen
> Morphismus f von C nach B gibt mit [mm]f_i=(p_i\circ h)\circ f[/mm]?

Ja.

> Edit:
>  
> Also ich habe mir da mal so eine Skizze gemacht, die ich
> gleich hier als Datei anhänge. Gleichzeitig soll das auch
> meine Beweis sein. Ich weiß jedoch nicht, inwiefern das
> als Beweis ausreicht.

Etwas Text dazu wäre schön. Z.B. so:


Seien $C$ ein Objekt unserer Kategorie und [mm] $f_i\colon C\to A_i$ [/mm] Morphismen für alle [mm] $i\in [/mm] I$.

Dann existiert ein Morphismus [mm] $f\colon C\to [/mm] A$ mit [mm] $p_i\circ f=f_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.

Für alle [mm] $i\in [/mm] I$ folgt

     [mm] $f_i=p_i\circ f=p_i\circ \operatorname{id}_A\circ f=p_i\circ h\circ g\circ [/mm] f$.

Somit leistet der Morphismus [mm] $g\circ f\colon C\to [/mm] B$ das Gewünschte.


Ich gehe mal davon aus, so war deine Skizze gemeint.

Es fehlt noch die Eindeutigkeit des Morphismus' [mm] $C\to [/mm] B$.

Bezug
                                                                                
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Do 22.03.2012
Autor: dennis2


> Somit leistet der Morphismus [mm]g\circ f\colon C\to B[/mm] das
> Gewünschte.
>  
>
> Ich gehe mal davon aus, so war deine Skizze gemeint.
>  

Ich meinte es so, aber ob ich es so formuliert bekommen hätte, weiß ich nicht. Deswegen dankeschön!


> Es fehlt noch die Eindeutigkeit des Morphismus' [mm]C\to B[/mm].

Ich weiß nicht so genau, wie man die zeigt.


Sicher nimmt man erstmal an, es gebe einen zweiten Morphismus von einem beliebigen Objekt D nach B, etwa [mm] $k\colon D\to [/mm] B$, für den gilt: [mm] $f_i=p_i\circ h\circ [/mm] k$.

Dann hätte man:

[mm] $f_i=p_i\circ h\circ g\circ f=p_i\circ h\circ [/mm] k$

Kann man dann sagen, diese Gleichung gilt genau dann, wenn

[mm] $g\circ [/mm] f=k$?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Do 22.03.2012
Autor: tobit09


> > Es fehlt noch die Eindeutigkeit des Morphismus' [mm]C\to B[/mm].
>  
> Ich weiß nicht so genau, wie man die zeigt.
>  
>
> Sicher nimmt man erstmal an, es gebe einen zweiten
> Morphismus von einem beliebigen Objekt D nach B, etwa
> [mm]k\colon D\to B[/mm], für den gilt: [mm]f_i=p_i\circ h\circ k[/mm].

D=C.

> Dann hätte man:
>  
> [mm]f_i=p_i\circ h\circ g\circ f=p_i\circ h\circ k[/mm]

Genau.

> Kann man dann sagen, diese Gleichung gilt genau dann, wenn
>  
> [mm]g\circ f=k[/mm]?

Warum folgt [mm] $g\circ [/mm] f=k$?

Zunächst einmal folgt aus der Produkt-Eigenschaft von [mm] $(A,\{p_i|i\in I\})$, [/mm] dass [mm] $h\circ g\circ f=h\circ [/mm] k$. Aber daraus folgt [mm] $g\circ [/mm] f=k$ weswegen?

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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 22.03.2012
Autor: dennis2


> Zunächst einmal folgt aus der Produkt-Eigenschaft von
> [mm](A,\{p_i|i\in I\})[/mm], dass [mm]h\circ g\circ f=h\circ k[/mm].

Okay, das verstehe ich.




> Aber daraus folgt [mm]g\circ f=k[/mm] weswegen?

Das weiß ich leider nicht. Kannst Du einen Tipp geben?

Bezug
                                                                                                        
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Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Do 22.03.2012
Autor: tobit09


> > Zunächst einmal folgt aus der Produkt-Eigenschaft von
> > [mm](A,\{p_i|i\in I\})[/mm], dass [mm]h\circ g\circ f=h\circ k[/mm].
>
> > Aber daraus folgt [mm]g\circ f=k[/mm] weswegen?
>
> Das weiß ich leider nicht. Kannst Du einen Tipp geben?

Nutze, dass h ein Isomorphismus ist, indem du g von links an die Gleichung [mm] $h\circ g\circ f=h\circ [/mm] k$ "dranverkettest".

Bezug
                                                                                                                
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Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 22.03.2012
Autor: dennis2


> Nutze, dass h ein Isomorphismus ist, indem du g von links
> an die Gleichung [mm]h\circ g\circ f=h\circ k[/mm] "dranverkettest".

Du meinst:

[mm] $g\circ h\circ g\circ f=g\circ h\circ [/mm] k$?

Dann habe ich:

[mm] $id_A\circ g\circ f=id_A\circ [/mm] k$

Das sind beides Abbildungen von C nach A und müssen daher übereinstimmen?


Bezug
                                                                                                                        
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Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 22.03.2012
Autor: tobit09


> > Nutze, dass h ein Isomorphismus ist, indem du g von links
> > an die Gleichung [mm]h\circ g\circ f=h\circ k[/mm]
> "dranverkettest".
>  
> Du meinst:
>  
> [mm]g\circ h\circ g\circ f=g\circ h\circ k[/mm]?

Genau.

> Dann habe ich:
>  
> [mm]id_A\circ g\circ f=id_A\circ k[/mm]

Es muss jeweils [mm] $\operatorname{id}_B$ [/mm] statt [mm] $\operatorname{id}_A$ [/mm] heißen. Und was ist z.B. [mm] $\operatorname{id}_B\circ [/mm] k$ nach Definition von [mm] $\operatorname{id}_B$? [/mm]

> Das sind beides Abbildungen von C nach A und müssen daher
> übereinstimmen?

(Nach Korrektur obigen Fehlers sind es Abbildungen von C nach B.)

Deine Formulierung hegt bei mir den Verdacht, dass ich dich mit einer ungenauen Formulierung von mir verwirrt habe:

Natürlich gibt es i.A. nicht nur einen Morphismus von C nach A. Aber nur einen Morphismus mit der gewünschten Eigenschaft.

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Do 22.03.2012
Autor: dennis2

Ah, okay, dann hat man

[mm] $id_B\circ g\circ f=g\circ f=k=id_B\circ [/mm] k$,


denn es ist ja das Gleiche, ob ich zum Beispiel erst die Abbildung k betrachte (also von C nach B) und dann dochnochmal identisch von B nach B abbilde oder es bei der Abbildung k belasse.



Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:19 Fr 23.03.2012
Autor: tobit09


> Ah, okay, dann hat man
>
> [mm]id_B\circ g\circ f=g\circ f=k=id_B\circ k[/mm],
>  
>
> denn es ist ja das Gleiche, ob ich zum Beispiel erst die
> Abbildung k betrachte (also von C nach B) und dann
> dochnochmal identisch von B nach B abbilde oder es bei der
> Abbildung k belasse.

Soweit richtig!

Beachte jedoch, dass wir mit Morphismen einer beliebigen Kategorie, also nicht notwendig mit Abbildungen zu tun haben. (Auch wenn in den meisten Standard-Beispielen für Kategorien Morphismen Abbildungen sind.)

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Produkt (Kategorientheorie): Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Fr 23.03.2012
Autor: dennis2

Ich danke Dir sehr für die geduldige Hilfe.

Das hat mir sehr geholfen !!

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