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Polyn. über Restklassenkörpern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Di 26.11.2013
Autor: Differential

Aufgabe
Sei [mm] $p\in\mathbb{N}$ [/mm] eine Primzahl und [mm] $D:\mathbb{F}_p[X]\to \mathbb{F}_p[X]$ [/mm] die formale Ableitung.

Zu zeigen: [mm] $D(f)=0\Leftrightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] [/mm] : [mm] f=g^p$. [/mm]

Ich habe noch etwas mit der Notation Probleme. Gilt für ein Polynom [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] die Identität [mm] $f^p=f$? [/mm]

Für eine Zahl [mm] $a\in\mathbb{F}_p$ [/mm] ist dies klar. Doch wie muss ich mir [mm] $f^p$, [/mm] also NICHT [mm] $f(X)^p$, [/mm] vorstellen? Eigentlich verbinde ich mit dieser Notation die $p$-fache Komposition von $f$.

        
Bezug
Polyn. über Restklassenkörpern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Di 26.11.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

hier ist wirklich die $p-$te Potenz gemeint, so wie man Polynome multipliziert.
Das heißt etwa [mm] $(x^2+1)^2 [/mm] = [mm] x^4+2x^2+1$. [/mm]

Als Tipp: Über [mm] $\IF_p$ [/mm] gilt (was du ggf. zeigen solltest): [mm] $(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0)^p [/mm] = [mm] a_nx^{pn} [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{p(n-1)} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1x^p [/mm] + [mm] a_0$. [/mm]


lg

Schadow

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Polyn. über Restklassenkörpern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Di 26.11.2013
Autor: Differential

Hi,

wie zeige ich das am besten? Ich dachte mir zunächst mittels vollständiger Induktion über $n$. Der Induktionsanfang $n=0$ ist ja trivial, aber wie mache ich das im Induktionsschritt [mm] $n-1\to [/mm] n$? Ich müsste ja den $n$-ten Summanden [mm] $a_nX^n$ [/mm] von der restlichen Summe (für die die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung gilt) trennen. Dann habe ich etwas in der Form von
          [mm] $(a_nX^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_iX^i)^p$ [/mm]
dort stehen. Dann wollte ich die allg. binomische Formel anwenden, aber den entstehenden Ausdruck kann ich nicht wirklich mit meiner Induktionsvoraussetzung vereinfachen.

Andere Ideen?!
Gruß
Differential

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Polyn. über Restklassenkörpern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 26.11.2013
Autor: Schadowmaster

Doch, das klappt so.
Zur einfacheren Notation setzen wir mal $a := [mm] a_nX^n$ [/mm] und $b$ als die Summe.
Dann ist nach allgemeiner binomischer Formel [mm] $(a+b)^p [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^p [/mm] {p [mm] \choose i}a^ib^{p-i} [/mm] = [mm] a^p+b^p [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{p-1} [/mm] {p [mm] \choose i}a^ib^{p-i}$. [/mm]
Nun kannst du zeigen: $p [mm] \mid [/mm] {p [mm] \choose [/mm] i}$ für alle $1 [mm] \leq [/mm] i < p$, damit sind diese Binominalkoeffizienten gleich Null (denn du rechnest ja modulo $p$).
Pass aber beim Beweis auf: Du musst wirklich benutzen, dass $p$ eine Primzahl ist.
Als Beispiel ${4 [mm] \choose [/mm] 2} = 6$ ist nicht durch $4$ teilbar (und $4$ ist natürlich keine Primzahl^^).


lg

Schadow

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Polyn. über Restklassenkörpern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Mi 27.11.2013
Autor: Differential

Vielen Dank für Deine bisherigen Antworten. Wie sieht die Situation denn aus, wenn ich zeigen will: [mm] $D(f)=0\Rightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] [/mm] : [mm] f=g^p$. [/mm]

Kann ich generell sagen, dass wenn [mm] $f=\sum_{i=0}^na_iX^i$ [/mm] ist, dass wegen [mm] $a^p=a \forall a\in\mathbb{F}_p$, [/mm] auch [mm] $f=\sum_{i=0}^na_iX^{pi}=f^p$ [/mm] gilt? Damit wäre das gesuchte $g$ gleich $f$.

Ich bin mir nicht sicher, warum ich hier unsicher bin. Für beliebige Elemente $a$ gilt $a=^p$; also sollte es auch für $X$ gelten, oder?

Gruß
Differential

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Polyn. über Restklassenkörpern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mi 27.11.2013
Autor: felixf

Moin Differential!

> Vielen Dank für Deine bisherigen Antworten. Wie sieht die
> Situation denn aus, wenn ich zeigen will: [mm]D(f)=0\Rightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] : f=g^p[/mm].
>  
> Kann ich generell sagen, dass wenn [mm]f=\sum_{i=0}^na_iX^i[/mm]
> ist, dass wegen [mm]a^p=a \forall a\in\mathbb{F}_p[/mm], auch
> [mm]f=\sum_{i=0}^na_iX^{pi}=f^p[/mm] gilt? Damit wäre das gesuchte
> [mm]g[/mm] gleich [mm]f[/mm].

Nein! Es gilt [mm] $f^p [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^{p i}$, [/mm] aber das ist nicht gleich $f$, da [mm] $X^{p i} \neq X_i$ [/mm] ist (ausser fuer $i = 0$).

> Ich bin mir nicht sicher, warum ich hier unsicher bin. Für
> beliebige Elemente [mm]a[/mm] gilt [mm]a=^p[/mm]; also sollte es auch für [mm]X[/mm]
> gelten, oder?

Nein, fuer $X$ gilt es nicht. Es gilt nur fuer Elemente aus [mm] $\IF_p$ [/mm] (fuer endliche Koerpererweiterungen gilt es z.B. schon nicht mehr).

LG Felix


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