Orthogonalität von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen internetforum gestellt!
Hallo!
Ich knabbere gerade verzweifelt an einem Beispiel bei dem ich überhaupt nicht vorankomme...
Man untersuche die folgende Matrix ob sie orthogonal ist.
[mm] \pmat{ 1/2 & 1/3 & 2/5 \\ 1/2 & -1/3 & 2/5 \\ -1/2 & 0 & 4/5}
[/mm]
Mein Problem dabei ist jetzt, dass ich keinen Ansatz finde wie man das rechnet. Die Definition im Skriptum ("Im unitären Raum V heißen zwei Vektoren v,w aus V orthogonal (bzgl. des gewählten Skalarproduktes), wenn: <v,w> = 0") wirft mehr Fragen auf als sie beantworten würde. Vorallem irrtiert es mich, dass sich auf Vektoren und nicht auf Matrizen bezogen wird...
Laut dem Repitorumsbuch ist eine Matrix A orthogonal wenn gilt: [mm] A^T [/mm] = A^-1 - das verstehe ich, aber wenn man "untersuchen" soll ob eine Matrix orthogonal ist, soll man dann wirklich einfach die Inverse berechnen und sie mit der Transponierten vergleichen??
Pff...ich wäre für jeden Hinweis wie man das Beispiel rechnet sehr dankbar!
gruß,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Nadine!
Leichter ist es zu überprüfen, ob
$A [mm] \cdot A^t =E_n$
[/mm]
gilt, wobei [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix ist. 
Schaue einfach, ob die Spalten der Matrix $A$ ein Orthonormalsystem bilden (tun sie hier nicht, sie sind nur orthogonal, daher ist die Matrix $A$ nicht orthogonal!).
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hallo Julius!
Vielen Dank für deine Rasche Antwort!
Der Tipp ist für mich einleuchtend, hätte ich eigentlich selbst mal draufkommen können...beim Inverse berechen verrechne ich mich ohnehin ständig
Aber zu deinem letzten Absatz hätte ich eine Frage:
> Schaue einfach, ob die Spalten der Matrix [mm]A[/mm] ein
> Orthonormalsystem bilden (tun sie hier nicht, sie sind nur
> orthogonal, daher ist die Matrix [mm]A[/mm] nicht orthogonal!).
Wie macht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Nadine!
Das Skalarprodukt jedes Spaltenvektors mit sich selbst muss $1$, das mit jedem anderen $0$ ergeben.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hi Julius!
Wiedermal vielen Dank für deine Erklärungen! Ich wünschte in den Mathebüchern würde es schon so klar stehen wie du es erklärst...
Nur zu Kontrolle, wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist in diesem Beispiel die Matrix kein Orthonormalsystem, weil:
v1= [mm] \vektor{1/2\\ 1/2\\ -1/2} [/mm] => <v1, v1> = 3/4
v2= [mm] \vektor{1/3\\-1/3\\0 } [/mm] => <v2, v2> = 2/9
v3= [mm] \vektor{2/5 \\ 2/5 \\ 4/5} [/mm] => <v3, v3> = 24/25
und nicht immer gleich 1. Zuerst war ich mir etwas unsicher, wie man zeigen soll, dass das Skalarprodukt eines Spaltenvektors mit jedem anderen Vektor gleich 0 ist, aber dann bin ich dahinter gekommen, dass "jeder andere Vektor" nur auf die übrigen Spaltenvektoren bezieht  Durch das Nachdenken über ein Beispiel (Einheitsmatrix) ist mir das ganze dann klar geworden...
Ich danke dir nochmal für deine großartige Hilfe!
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