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Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 22.05.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Zeigen sie, dass die folgenden Folgen Nullfolgen sind.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm]
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{n^2 + 1000n + 30020}{2n^3 - 1005} [/mm]



Haalllo
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} =\frac{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \frac{(n+1) - n - 2* \wurzel{n}*\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}} [/mm]
Ich bin da am falschen weg.
Ich wollte [mm] a_n [/mm] erweitern mit einem geeigneten Faktor und als Bruch mit konstanten Zähler schreiben.
Jedoch hab ich nicht kapiert wie ich das machen kann.

b) Hatte an einschließungskriterium gedacht.
Hab aber nur eine schranke für unten gefunden, die den Grenzwert 0 hat.
[mm] \frac{n^2}{2n^3}=\frac{1}{2n}<= b_n [/mm] = [mm] \frac{n^2 + 1000n + 30020}{2n^3 - 1005} [/mm]

[mm] lim_{n->\infty} \frac{1}{2n} [/mm] =0
Wie finde ich eine obere SChranke?

        
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Di 22.05.2012
Autor: fred97

Bei a) solltest Du erweitern mit $ [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] $

Bei b) klammere in Zähler und Nenner [mm] n^2 [/mm] aus.

FRED

Bezug
                
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 22.05.2012
Autor: Lu-

Zu a)
Dann kommt raus [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm]
wenn ich nun n-> [mm] \infty [/mm] anschaue, dann konvergiert der Nenner gegen unendlich, also ist es eine Nullfolge.

zu b)


[mm] \frac{n^2 + 1000n + 30020}{2n^3 - 1005} [/mm] = [mm] \frac{n^2*(1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2}}{n^2*(2n-\frac{1005}{n^2}} [/mm] = [mm] \frac{1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2})}{2n-\frac{1005}{n^2}} [/mm]

[mm] lim_{n->\infty}\frac{1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2})}{2n-\frac{1005}{n^2}} [/mm] = 0
Also das einschließungskriterium brauche ich gar nicht, wie ich sehe

Nun hab ich noch eine Frage:
Berechnen sie den Grenzwert von
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{3n} sin(2n^2) [/mm]
und geben Sie zu jedem epsilon>0 ein geeignetes [mm] N(\epsilon) [/mm] an.

Hab zuerst an Einschließungskriterium gedacht da:
sin(x) <= 1
[mm] \frac{1}{3n} sin(2n^2) [/mm] <= [mm] \frac{1}{3n} [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} \frac{1 }{3n} [/mm] = 0

Aber da scheitere ich an einer oberen Grenze.
Habt ihr da einen Tipp noch für mich>?


Bezug
                        
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Mi 23.05.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Zu a)
>  Dann kommt raus [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/mm]
>  wenn ich nun n-> [mm]\infty[/mm] anschaue, dann konvergiert der

> Nenner gegen unendlich, also ist es eine Nullfolge.

ok.

>  
> zu b)
>  
>
> [mm]\frac{n^2 + 1000n + 30020}{2n^3 - 1005}[/mm] =
> [mm]\frac{n^2*(1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2}}{n^2*(2n-\frac{1005}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\frac{1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2})}{2n-\frac{1005}{n^2}}[/mm]
>  
> [mm]lim_{n->\infty}\frac{1+\frac{1000}{n} + \frac{30020}{n^2})}{2n-\frac{1005}{n^2}}[/mm]
> = 0


ok.

>  Also das einschließungskriterium brauche ich gar nicht,
> wie ich sehe
>  
> Nun hab ich noch eine Frage:
>  Berechnen sie den Grenzwert von
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1}{3n} sin(2n^2)[/mm]
>  und geben Sie zu jedem
> epsilon>0 ein geeignetes [mm]N(\epsilon)[/mm] an.
>  
> Hab zuerst an Einschließungskriterium gedacht da:
>  sin(x) <= 1
>   [mm]\frac{1}{3n} sin(2n^2)[/mm] <= [mm]\frac{1}{3n}[/mm]
>  [mm]lim_{n->\infty} \frac{1 }{3n}[/mm] = 0
>  
> Aber da scheitere ich an einer oberen Grenze.

Verwende [mm]-\bruch{1}{3n}\leq{b_n}\leq\bruch{1}{3n}[/mm]

> Habt ihr da einen Tipp noch für mich>?

Gruß
barsch


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Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mi 23.05.2012
Autor: Lu-

Hallo,
okay dann handelt es sich mittels Einschließungskriterium um eine Nullfolge.

> und geben Sie zu jedem
> epsilon>0 ein geeignetes [mm] N(\epsilon) [/mm]  an

[mm] \forall \epsilon [/mm] >0, [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: [/mm] n>= N :
| [mm] b_n [/mm] - 0 | = | [mm] \frac{1}{3n} [/mm] * [mm] sin(2n^2) [/mm] | <= [mm] |\frac{1}{3n} [/mm] | = [mm] \frac{1}{3n} [/mm] < [mm] \frac{1}{3N} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]

N > [mm] \frac{1}{3\epsilon} [/mm]

Passt das so?
LG


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Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  okay dann handelt es sich mittels Einschließungskriterium
> um eine Nullfolge.
>  
> > und geben Sie zu jedem
>  > epsilon>0 ein geeignetes [mm]N(\epsilon)[/mm]  an

>  [mm]\forall \epsilon[/mm] >0, [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN:[/mm] n>= N :
>  | [mm]b_n[/mm] - 0 | = | [mm]\frac{1}{3n}[/mm] * [mm]sin(2n^2)[/mm] | <=
> [mm]|\frac{1}{3n}[/mm] | = [mm]\frac{1}{3n}[/mm] < [mm]\frac{1}{3N}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>  
> N > [mm]\frac{1}{3\epsilon}[/mm]
>  
> Passt das so?

Ja

FRED

>  LG
>  


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Nullfolge, bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Mi 23.05.2012
Autor: Lu-

danke ;)

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Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Mi 23.05.2012
Autor: Lu-

Noch eine Frage:
Im ersten Bsp hatten wir die Folge: $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] $
Die eine Nullfolge ist.

Nun habe ich noch als Bsp
[mm] b_n= \wurzel{n+\wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm]
und davon soll ich den Grenzwert bestimmen.
Ich habe wieder mittels 3 binomische Formel umgeformt und kam zu:
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}} [/mm]

Nun hab ich probier  [mm] \wurzel{n} [/mm] herauszunehmen
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{\wurzel{n+\wurzel{n}}}{\wurzel{n}} +1} [/mm]

Nun weiß ich nicht weiter bei der Grenzwertbestimmung.

Bezug
                                                                
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> Noch eine Frage:
>  Im ersten Bsp hatten wir die Folge: [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
>  Die eine Nullfolge ist.
>  
> Nun habe ich noch als Bsp
>  [mm]b_n= \wurzel{n+\wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
>  und davon soll ich den Grenzwert bestimmen.
>  Ich habe wieder mittels 3 binomische Formel umgeformt und
> kam zu:
>  [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}}[/mm]
>  
> Nun hab ich probier  [mm]\wurzel{n}[/mm] herauszunehmen
>  [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1}{\frac{\wurzel{n+\wurzel{n}}}{\wurzel{n}} +1}[/mm]
>  
> Nun weiß ich nicht weiter bei der Grenzwertbestimmung.

Tipp: für a,b >0 ist [mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}} =\wurzel{a/b} [/mm]

FRED


Bezug
                                                                        
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Mi 23.05.2012
Autor: Lu-

Okay, dan habe ich:

$ [mm] b_n [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{\frac{\wurzel{n+\wurzel{n}}}{\wurzel{n}} +1} [/mm] $  = [mm] \frac{1}{\wurzel{\frac{n+\wurzel{n}}{n}}+1}= \frac{1}{\wurzel{1+\frac{\wurzel{n}}{n}}+1} [/mm]

[mm] lim_{n-> \infty} \frac{\wurzel{n}}{n} [/mm]
Ich weiß nicht, ob ich den lim ausrechnen kann.
Ich glaube er ist 0. Aber glauben ist niee gut.

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Bezug
Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> Okay, dan habe ich:
>  
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1}{\frac{\wurzel{n+\wurzel{n}}}{\wurzel{n}} +1}[/mm]
>  = [mm]\frac{1}{\wurzel{\frac{n+\wurzel{n}}{n}}+1}= \frac{1}{\wurzel{1+\frac{\wurzel{n}}{n}}+1}[/mm]
>  
> [mm]lim_{n-> \infty} \frac{\wurzel{n}}{n}[/mm]
> Ich weiß nicht, ob ich den lim ausrechnen kann.
>  Ich glaube er ist 0. Aber glauben ist niee gut.


Es gilt doch:

[mm]lim_{n-> \infty} \frac{\wurzel{n}}{n}=lim_{n-> \infty} \frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                        
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mi 23.05.2012
Autor: Lu-

Ah danke, dass habe ich vergessen.

also ist der Grenzwert
[mm] lim_{n->\infty} \frac{1}{\wurzel{1+\frac{\wurzel{n}}{n}}+1} [/mm] $  = 1/2

LG

Bezug
                                                                                                
Bezug
Nullfolge, bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Mi 23.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> Ah danke, dass habe ich vergessen.
>  
> also ist der Grenzwert
>  [mm]lim_{n->\infty} \frac{1}{\wurzel{1+\frac{\wurzel{n}}{n}}+1}[/mm]
> $  = 1/2
>  


Stimmt. [ok]


> LG


Gruss
MathePower

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