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Norm, Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Do 24.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,
kleine Frage:

ich soll || (4,-2)|| in [mm] (\IR^2,f) [/mm] berechnen sowie den Winkel zwischen den Standardbasisvektoren. Dabei ist f gegeben als :
f(x,y) = [mm] x_1y_1 -x_1y_2 -x_2y_1 [/mm] + [mm] 3x_2y_3 [/mm]

jetzt frag ich mich, wenn ich x = 4 habe und -2 = y , was ist hier mein [mm] x_2 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] ?


lg,

Eve

        
Bezug
Norm, Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Do 24.05.2012
Autor: Blech

Hi,

[mm] $\left\| \vektor{4\\ -2}\right\|$ [/mm]

ist eine Norm, Deine Definition für f ist für ein Skalarprodukt. Wie kriegst Du denn aus einem Skalarprodukt eine Norm?

> jetzt frag ich mich, wenn ich x = 4 habe und -2 = y , was ist hier mein $ [mm] x_2 [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] $ ?

Es ist eher [mm] $x_1=4$ [/mm] und [mm] $x_2=-2$ [/mm]

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Norm, Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Do 24.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

hio,

öhm ich krieg aus einem Skalarprodukt eine Norm, wenn ich
die wurzel ziehe, aber ich kann doch nicht einfach die wurzel von f ziehen oder? bzw was ist jetzt mein y?^^

Bezug
                        
Bezug
Norm, Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Do 24.05.2012
Autor: Denny22

Hallo,

> huhu,
> kleine Frage:

>

> ich soll || (4,-2)|| in $ [mm] (\IR^2,f) [/mm] $ berechnen sowie den Winkel zwischen
> den Standardbasisvektoren. Dabei ist f gegeben als :
> f(x,y) = $ [mm] x_1y_1 -x_1y_2 -x_2y_1 [/mm] $ + $ [mm] 3x_2y_3 [/mm] $

Also, ein paar Bemerkungen und Rückfragen von meiner Seite:
1. Wie ist [mm] $\left\|\cdot\right\|$ [/mm] definiert? Ist dies die euklidische Norm im [mm] $\IR^2$? [/mm]
2. Da $f$ von [mm] $x_1,x_2,y_1,y_2,y_3$ [/mm] abhängt, ist [mm] $f:\IR^2\times\IR^3\rightarrow\IR$. [/mm] Richtig? Zwar etwas merkwürdig, aber okay. Was hat $f$ nun mit [mm] $\left\|\cdot\right\|$ [/mm] zu tun?
Du solltest besser die genaue Aufgabenstellung angeben, da Deine Aufgabe so absolut keinen Sinn macht.

> jetzt frag ich mich, wenn ich x = 4 habe und -2 = y , was ist hier mein
> $ [mm] x_2 [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] $ ?

Dein $x$ ist ein Vektor im [mm] $\IR^2$ [/mm] und dein $y$ ist ein Vektor im [mm] $\IR^3$. [/mm] Den Punkt $(4,-2)$ kann man dort nicht (sinnvoll) einsetzen. Du kannst natürlich [mm] $x_1=4$ [/mm] und [mm] $x_2=-2$, [/mm] also [mm] $x=(x_1,x_2)=(4,-2)$ [/mm] setzen, aber was soll Dir das helfen?!

> hio,
>  
> öhm ich krieg aus einem Skalarprodukt eine Norm, wenn ich
>  die wurzel ziehe,

Vorsicht! Du musst dann schon beim Skalarprodukt in beide Komponenten den selben Wert einsetzen und dann die Wurzel ziehen, d.h.

  [mm] $\left\|x\right\|=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle}$ [/mm]

denn

  [mm] $\sqrt{\left\langle x,y\right\rangle}$ [/mm]

macht keinen Sinn.

> aber ich kann doch nicht einfach die
> wurzel von f ziehen oder?

Die Wurzel ziehen kannst Du schon, aber dadurch hast Du keine Norm! Insbesondere kann $f$ negative Werte annehmen.

> bzw was ist jetzt mein y?^^

Na, dass wüsste ich jetzt auch gerne. Falls $f$ ein Skalarprodukt sein soll, so darf [mm] $y_3$ [/mm] nicht auftreten. Stattdessen benötigst Du [mm] $f:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR$. [/mm] Bei diesem $f$ solltest Du dann erst einmal überprüfen, ob es tatsächlich ein Skalarprodukt ist. Falls ja, so kannst Du eine Norm definieren, wie ich es Dir oben erklärt habe, d.h.

  [mm] $\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}$ [/mm]

wobei [mm] $x=(x_1,x_2)\in\IR^2$. [/mm] Nun setze [mm] $x=(x_1,x_2)=(4,-2)$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Norm, Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Do 24.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> Hallo,
>  
> > huhu,
>  > kleine Frage:

>  >
>  > ich soll || (4,-2)|| in [mm](\IR^2,f)[/mm] berechnen sowie den

> Winkel zwischen
> > den Standardbasisvektoren. Dabei ist f gegeben als :
>  > f(x,y) = [mm]x_1y_1 -x_1y_2 -x_2y_1[/mm] + [mm]3x_2y_3[/mm]

>  
> Also, ein paar Bemerkungen und Rückfragen von meiner
> Seite:
>   1. Wie ist [mm]\left\|\cdot\right\|[/mm] definiert? Ist dies die
> euklidische Norm im [mm]\IR^2[/mm]?

ja genau

>   2. Da [mm]f[/mm] von [mm]x_1,x_2,y_1,y_2,y_3[/mm] abhängt, ist
> [mm]f:\IR^2\times\IR^3\rightarrow\IR[/mm]. Richtig? Zwar etwas
> merkwürdig, aber okay. Was hat [mm]f[/mm] nun mit
> [mm]\left\|\cdot\right\|[/mm] zu tun?
>  Du solltest besser die genaue Aufgabenstellung angeben, da
> Deine Aufgabe so absolut keinen Sinn macht.

Berechnen sie || (4,-2) || in [mm] ](\IR^2,f) [/mm] sowie den Winkel zwischen den Standárdbasisvektoren.

das ist die komplette aufgabenstellung^^
und f hat die Eigenschaften eines welche man für Skalaprodukt brauche


srry das letzte [mm] y_3 [/mm] ist eig ein [mm] y_2 [/mm] ;/

> > jetzt frag ich mich, wenn ich x = 4 habe und -2 = y , was
> ist hier mein
> > [mm]x_2[/mm] und [mm]y_2[/mm] ?
>  
> Dein [mm]x[/mm] ist ein Vektor im [mm]\IR^2[/mm] und dein [mm]y[/mm] ist ein Vektor im
> [mm]\IR^3[/mm]. Den Punkt [mm](4,-2)[/mm] kann man dort nicht (sinnvoll)
> einsetzen. Du kannst natürlich [mm]x_1=4[/mm] und [mm]x_2=-2[/mm], also
> [mm]x=(x_1,x_2)=(4,-2)[/mm] setzen, aber was soll Dir das helfen?!
>  
> > hio,
>  >  
> > öhm ich krieg aus einem Skalarprodukt eine Norm, wenn ich
>  >  die wurzel ziehe,
>
> Vorsicht! Du musst dann schon beim Skalarprodukt in beide
> Komponenten den selben Wert einsetzen und dann die Wurzel
> ziehen, d.h.
>  
> [mm]\left\|x\right\|=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle}[/mm]
>  
> denn
>  
> [mm]\sqrt{\left\langle x,y\right\rangle}[/mm]
>  
> macht keinen Sinn.
>  
> > aber ich kann doch nicht einfach die
> > wurzel von f ziehen oder?
>
> Die Wurzel ziehen kannst Du schon, aber dadurch hast Du
> keine Norm! Insbesondere kann [mm]f[/mm] negative Werte annehmen.
>  
> > bzw was ist jetzt mein y?^^
>
> Na, dass wüsste ich jetzt auch gerne. Falls [mm]f[/mm] ein
> Skalarprodukt sein soll, so darf [mm]y_3[/mm] nicht auftreten.
> Stattdessen benötigst Du [mm]f:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR[/mm].
> Bei diesem [mm]f[/mm] solltest Du dann erst einmal überprüfen, ob
> es tatsächlich ein Skalarprodukt ist. Falls ja, so kannst
> Du eine Norm definieren, wie ich es Dir oben erklärt habe,
> d.h.

soll ich nun die Norm bilden wie du sagtest, aber y trotzdem als Variable drin lassen?

>  
> [mm]\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}[/mm]

das versteh ich nicht ganz, wieso nicht [mm] \wurzel{} [/mm] ?

>  
> wobei [mm]x=(x_1,x_2)\in\IR^2[/mm]. Nun setze [mm]x=(x_1,x_2)=(4,-2)[/mm].


Bezug
                                        
Bezug
Norm, Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Do 24.05.2012
Autor: Denny22

Ich wiederhole: [mm] $f:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR$ [/mm] definiert durch

   [mm] $f(x,y)=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2$ [/mm]

mit [mm] $x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^T\in\IR^2$ [/mm] ist ein Skalarprodukt auf [mm] $\IR^2$. [/mm] -> Dies musst Du vermutlich erst zeigen, denn klar ist dies auf den ersten Blick nicht! Die Aufgabenstellung war:

> Berechnen sie || (4,-2) || in [mm]](\IR^2,f)[/mm] sowie den Winkel
> zwischen den Standárdbasisvektoren.
>  
> das ist die komplette aufgabenstellung^^

Also: "Berechnen Sie [mm] $\left\|(4,-2)\right\|$ [/mm] in [mm] $(\IR^2,f)$ [/mm] sowie den Winkel zwischen den Standardbasisvektoren"?? Wer schreibt denn so was?? Was soll denn [mm] "$\left\|\cdot\right\|$ [/mm] in [mm] $(\IR^2,f)$" [/mm] bedeuten? Es fehlt nach wie vor der Zusammenhang zwischen $f$ und der Norm? Wenn die dortige Norm - wie Du angibst - durch die euklidische Norm im [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert ist, wozu brauchst Du dann die Funktion/das Skalarprodukt $f$? Das macht keinen Sinn! Vielleicht sollte dort [mm] $\left\|f((4,-2),(4,-2))\right\|$ [/mm] stehen, insofern [mm] $\left\|\cdot\right\|$ [/mm] tatsächlich die euklidische Norm ist. Ich glaube jedoch eher, dass die Norm durch

   [mm] $\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}$ [/mm]

definiert ist. Dann hast Du

   [mm] $\left\|(4,-2)\right\|_f=\sqrt{f((4,-2),(4,-2))}=44$ [/mm]

> soll ich nun die Norm bilden wie du sagtest, aber y
> trotzdem als Variable drin lassen?
>  >  
> > [mm]\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}[/mm]
>  
> das versteh ich nicht ganz, wieso nicht
> [mm]\wurzel{}[/mm] ?

Was soll das denn? Und was sollen die Spitzenklammern? Ich dachte $f$ ist bereits ein Skalarprodukt! Nun nimmst Du Dein Skalarprodukt $f(x,y)$ und packst es (vermutlich) in das euklidische Skalarprodukt auf [mm] $\IR$? [/mm] Warum?

> > wobei [mm]x=(x_1,x_2)\in\IR^2[/mm]. Nun setze [mm]x=(x_1,x_2)=(4,-2)[/mm].
>  

Frage bitte Deinen Betreuer, nach dem Zusammenhang zwischen $f$ und der Norm, denn blindes Raten nach deren Bedeutung bringt uns an dieser Stelle nicht weiter. Vielleicht habt ihr so etwas auch bereits in der Vorlesung gehabt, so dass es dort definiert wurde. Sorry.

Bezug
                                                
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Norm, Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Do 24.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> Ich wiederhole: [mm]f:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR[/mm] definiert
> durch
>  
> [mm]f(x,y)=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2[/mm]
>  
> mit [mm]x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^T\in\IR^2[/mm] ist ein
> Skalarprodukt auf [mm]\IR^2[/mm]. -> Dies musst Du vermutlich erst
> zeigen, denn klar ist dies auf den ersten Blick nicht! Die
> Aufgabenstellung war:
>  
> > Berechnen sie || (4,-2) || in [mm]](\IR^2,f)[/mm] sowie den Winkel
> > zwischen den Standárdbasisvektoren.
>  >  
> > das ist die komplette aufgabenstellung^^
>  
> Also: "Berechnen Sie [mm]\left\|(4,-2)\right\|[/mm] in [mm](\IR^2,f)[/mm]
> sowie den Winkel zwischen den Standardbasisvektoren"?? Wer
> schreibt denn so was?? Was soll denn "[mm]\left\|\cdot\right\|[/mm]
> in [mm](\IR^2,f)[/mm]" bedeuten? Es fehlt nach wie vor der
> Zusammenhang zwischen [mm]f[/mm] und der Norm?

ich schwöre dir, das ist die Komplette Aufgabenstellung

Wenn die dortige Norm

> - wie Du angibst - durch die euklidische Norm im [mm]\IR^2[/mm]
> definiert ist, wozu brauchst Du dann die Funktion/das
> Skalarprodukt [mm]f[/mm]? Das macht keinen Sinn! Vielleicht sollte
> dort [mm]\left\|f((4,-2),(4,-2))\right\|[/mm] stehen, insofern
> [mm]\left\|\cdot\right\|[/mm] tatsächlich die euklidische Norm ist.
> Ich glaube jedoch eher, dass die Norm durch
>  
> [mm]\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}[/mm]
>  
> definiert ist. Dann hast Du
>  
> [mm]\left\|(4,-2)\right\|_f=\sqrt{f((4,-2),(4,-2))}=44[/mm]

ist das nicht zuu einfach um richtig zu sein?^^

>  
> > soll ich nun die Norm bilden wie du sagtest, aber y
> > trotzdem als Variable drin lassen?
>  >  >  
> > > [mm]\left\|x\right\|_f:=\sqrt{f(x,x)}[/mm]
>  >  
> > das versteh ich nicht ganz, wieso nicht
> > [mm]\wurzel{}[/mm] ?

sry, ich meinte was du geschrieben hast damit^^
ich dachte man kanns auch so schreiben


> Frage bitte Deinen Betreuer, nach dem Zusammenhang zwischen
> [mm]f[/mm] und der Norm, denn blindes Raten nach deren Bedeutung
> bringt uns an dieser Stelle nicht weiter. Vielleicht habt
> ihr so etwas auch bereits in der Vorlesung gehabt, so dass
> es dort definiert wurde. Sorry.


mein übungsleiter is in den Ferien, ohne Witz.
meine Def. :

Unter einem Skalarprodukt verstehen wir eine Funktion <,> : V x V [mm] \to \IR [/mm] sodass für alle Vektoren x,y,z aus V und alle Skalare k [mm] \in \IR [/mm] folgende Eigenschaften gelten:

kurz gesagt Symmetrie Additivität Homogenität und pos. Definitheit


Norm:
Wir definieren die Norm eines Vektors als
||x|| = (x [mm] \* x)^{1/2} [/mm]
halt die Standarddef.



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Norm, Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:40 Do 24.05.2012
Autor: leduart

Hallo
die einzig moegliche Interpretation deiner aufgabe ist : f ist das definierte skalarprodukt, die Norm dann [mm] \wurzel{f(x,x)} [/mm]
damit kannst du alle Teile loesen.
Nicht sicher ist, ob du noch nachweisen sollst, dass f ein skalarprodukt ist. Aber so wie die Aufgabe gestellt ist glaub ich das nicht.
Gruss leduart

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Norm, Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Fr 25.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

ich habe mal nach ähnlichen Aufgaben im Internet recherchiert:
[]Uni Duisb.

Das ganze ist - und ich denke, wegen des obigen Links ist das ziemlich sicher- so zu verstehen, wie es hier auch schon angedeutet worden ist:
[mm] $(\IR^2,f)$ [/mm] ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt, welches hier [mm] $f\,$ [/mm] heißt:
$f: [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$ [/mm] ist ein Skalarprodukt, und ich würde im Gegensatz zu Leduart dies auch beweisen. Denn behaupten kann ein Aufgabensteller viel - und wenn es in der Aufgabe nicht explzit mit drin steht, dass man das nicht beweisen soll, finde ich es schon fast "Pflicht".

Mach' Dir einfach mal klar, dass es nun erstmal ein (wenn auch nicht grundloser) reiner Formalismus ist, wenn man anstatt [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] nun [mm] $\,$ [/mm] für $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] schreibt. Dabei ist dann natürlich [mm] $<.,.>\,$ [/mm] NICHT das Standard-Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^2\,$ [/mm] (beachte, dass man von "einem Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^2$" [/mm] spricht, obwohl ein solches Skalarprodukt eigentlich dann den Definitionsbereich [mm] $\IR^2 \times \IR^2$ [/mm] hat), sondern man könnte sowas schreiben:
[mm] $$_f\;\;:=f(x,y)\,.$$ [/mm]

(Die spitzen Klammern werden oft, auch nicht ganz ohne Grund, als Notation für Skalarprodukte genutzt. Aber strenggenommen müßtest Du das sogar so sehen:
Wenn etwa $<.,.>: [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$ [/mm] ein Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, dann ist ja eigentlich der Funktionswert von [mm] $<.,.>\,$ [/mm] an der Stelle $(x,y) [mm] \in \IR^2 \times \IR^2$ [/mm] gegeben durch [mm] $<.,.>((x,y))\,.$ [/mm] Solch' eine Notation ist ungünstig (auch schon die doppelte Klammerung), also würde man definieren [mm] $:=<.,.>((x,y))\,.$ [/mm] Sowas kennst Du auch bei der Norm: Dort benutzt man [mm] $\|x\|:=\|.\|(x)$... [/mm]
Oder etwas ähnliches, was fast jeder kennt: Wenn man $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] als Zeilenvektor schreibt und man eine Funktion $g: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] hat, dann definiert man für [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] die Notation [mm] $g(x_1,x_2):=g(x)=g((x_1,x_2))\,.$) [/mm]

Und wenn Du nachgewiesen hast, dass [mm] $f(.,.)\,$ [/mm] bzw. $<.,.>_f$ ein Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, dann ist klar, dass mit diesem dann durch
[mm] $$\|x\|_f:=\sqrt{_f}=\sqrt{f(x,x)}\;\;(x \in \IR^2)$$ [/mm]
dann [mm] $(\IR^2,\|.\|_f)$ [/mm] ein normierter Raum gegeben ist. (Das ist eine allgemein bekannte Tatsache, deren Beweis eh quasi leicht von der Hand fällt!)
Und dann kannst Du dort [mm] $\|(4,-2)\|_f=\sqrt{f(((4,-2),(4,-2)))}$ [/mm] berechnen.

P.S.
Wenn Dein Übungsleiter aus dem Urlaub kommt, würde ich ihm sagen, dass er definitiv irgendwo in der Aufgabe schreiben soll, dass [mm] $(\IR^2,f)\,$ [/mm] ein euklidischer Raum sei und dass [mm] $\|.\|:=\|.\|_f$ [/mm] die durch das Skalarprodukt induzierte Norm meint.

P.P.S.
Für [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] ist natürlich [mm] $f((x,x))=f(((x_1,x_2),(x_1,x_2)))=f(x_1,x_2,x_1,x_2)\,.$ [/mm]
Mir hatte es früher auch mal geholfen, sich die Notationen klarzumachen, wenn man die Vektoren etwa des [mm] $\IR^2$ [/mm] nicht als als Zeilenvektoren, sondern Spaltenvektoren schreibt:
Ist beispielsweise [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^2 \times \IR^2$ [/mm] definiert, so schreiben wir eigentlich Elemente aus [mm] $\IR^2 \times \IR^2$ [/mm] so:
Es ist
[mm] $$(x,y)=(\vektor{x_1\\x_2},\;\vektor{y_1\\y_2}) \in \IR^2 \times \IR^2\,.$$ [/mm]
Also ist (reines Einsetzen):
[mm] $$g(\;(x,y)\;)=g(\;(\vektor{x_1\\x_2},\;\vektor{y_1\\y_2})\;)$$ [/mm]

Aber offenbar spart man sich eine Menge Klammern und schreibt günstiger, wenn man [mm] $g(x_1,x_2,y_1,y_2)$ [/mm] für [mm] $g(\;(x,y)\;)=g(\;(\vektor{x_1\\x_2},\;\vektor{y_1\\y_2})\;)$ [/mm] schreibt. Außerdem erkennt man den Vektor [mm] $x\,$ [/mm] anhand seiner Komponenten und den Vektor [mm] $y\,$ [/mm] anhand seiner Komponenten in [mm] $g(x_1,x_2,y_1,y_2)$ [/mm] ja auch direkt wieder!

Gruß,
  Marcel

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