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| Aufgabe | Berechne das Wegintergal [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{z(z^2+1)} dx}
[/mm]
längs der Kreislinie [mm] \gamma
[/mm]
b.) um 0 mit Radius 1/2 |
Hallo zusammen,
ich hab hier ein klitzekleines Problem, bei dem mir hoffentlich jemand helfen kann:
ich hab den Ausdruck [mm] \bruch{1}{z(z^2+1)} [/mm] mittlerweile in die Form [mm] \bruch{f(x)}{x-z} [/mm] gebracht damit ich die Cauchy Integralformel anwenden kann.
Nur was setze ich jetzt für mein z ein? Ich hätte es mit z=0 probiert, da 0 ja auch eine Singularität ist, da kommt aber 0 raus und das kann ja wohl nicht sein, oder doch?
Oder muss ich doch was anderes einsetzen? Z.B. z=1/4 ? Das liegt ja auch in der oben genannten Kreisscheibe...
Wär super wenn mir jemand helfen könnte...
Liebe Grüße Stofffffel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne das Wegintergal
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z(z^2+1)} dx}[/mm]
> längs der
> Kreislinie [mm]\gamma[/mm]
> b.) um 0 mit Radius 1/2
> Hallo zusammen,
> ich hab hier ein klitzekleines Problem, bei dem mir
> hoffentlich jemand helfen kann:
> ich hab den Ausdruck [mm]\bruch{1}{z(z^2+1)}[/mm] mittlerweile in
> die Form [mm]\bruch{f(x)}{x-z}[/mm] gebracht damit ich die Cauchy
> Integralformel anwenden kann.
> Nur was setze ich jetzt für mein z ein? Ich hätte es mit
> z=0 probiert, da 0 ja auch eine Singularität ist, da kommt
> aber 0 raus und das kann ja wohl nicht sein, oder doch?
Da kommt nicht 0 heraus. Schreib mal genau auf, was du gerechnet hast: was ist dein f(z) ?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Berechne das Wegintergal
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z(z^2+1)} dx}[/mm]
> längs der
> Kreislinie [mm]\gamma[/mm]
> b.) um 0 mit Radius 1/2
Um diese Aufgabe zu lösen gibt es zwei Möglichkeiten. Dazu nehme ich einmal an, dass Du mit der Kreislinie [mm] $\gamma$ [/mm] die folgende Kurve meinst
[mm] $\gamma:[0,2\pi]\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma(t)=z_0+re^{it}$
[/mm]
wobei [mm] $z_0\in\IC$ [/mm] ein beliebiger Mittelpunkt und [mm] $r\in\IR$ [/mm] mit $r>0$ ein beliebiger Radius ist.
1. Möglichkeit: Direkte Berechnung unter Verwendung der Definition des Kurvenintegrals: Sei [mm] $f(z):=\frac{1}{z(z^2+1)}$, [/mm] dann verwende
[mm] $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{0}^{2\pi}f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt$
[/mm]
Da die Spur von [mm] $\gamma$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ liegen muss (damit das Kurvenintegral wohldefiniert ist), darf [mm] $\gamma$ [/mm] nicht durch $0,i,-i$ laufen, da dies gerade die Polstellen von $f$ sind.
2. Möglichkeit: Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z(z+i)(z-i)}\overset{!}{=}\frac{A}{z}+\frac{B}{(z+i)}+\frac{C}{(z-i)}$
[/mm]
Anschließend musst Du mit der Cauchyschen Integralformel und dem Cauchyschen Integralsatzes die drei Integrale berechnen.
Versuche das mal und teile uns bei Schwierigkeiten Deine Problemstellen mit.
Gruss Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Sa 06.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 2. Möglichkeit: Partialbruchzerlegung:
Die Partialbruchzerlegung ist nicht nötig, weil die Funktion [mm] $\bruch{1}{1+z^2}$ [/mm] im Innern des Kreises mit Radius 1/2 um 0 holomorph ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Rainer,
> Die Partialbruchzerlegung ist nicht nötig, weil die
> Funktion [mm]\bruch{1}{1+z^2}[/mm] im Innern des Kreises mit Radius
> 1/2 um 0 holomorph ist.
Da hast Du völlig recht. Das habe ich versehentlich übersehen. Also:
Anstelle der Partialbruchzerlegung kannst Du das Integral auch direkt mithilfe der [mm] \textit{Cauchyschen Integralformel (für Kreisscheiben)} [/mm] berechnen. Zur Erinnerung:
[mm] \textbf{Cauchysche Integralformel} [/mm] (für Kreisscheiben): [mm] $U\subset\IC$ [/mm] offen, [mm] $f:U\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph in $U$, [mm] $c\in [/mm] U$, [mm] $B:=B_r(c):=\{z\in\IC\mid |z-c|
[mm] $f(\zeta)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial B}\frac{f(z)}{z-\zeta}dz$
[/mm]
wobei [mm] $\partial [/mm] B$ die positiv orientierte Kurve über den Rand von $B$ ist, d.h.
[mm] $\partial B:[0,2\pi]\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $t\longmapsto c+re^{it}$
[/mm]
Kommen wir nun zu Deiner Aufgabe.
[mm] \textbf{Lösung:} [/mm] Betrachte die folgende Umformung:
[mm] $\int_{\gamma}\frac{1}{z(z^2+1)}dz=\int_{\gamma}\frac{\frac{1}{z^2+1}}{z}dz$
[/mm]
Bei Dir ist [mm] $f(z):=\frac{1}{z^2+1}$ [/mm] holomorph in [mm] $U:=\IC\backslash\{i,-i\}$, [/mm] $c:=0$, [mm] $r:=\frac{1}{2}$, $B:=B_{\frac{1}{2}}(0)$, $\overline{B}\subset [/mm] U$, [mm] $\zeta:=0\in [/mm] B$, [mm] $\gamma=\partial [/mm] B$. Damit gilt nach der Cauchyschen Integralformel (für Kreisscheiben):
[mm] $\int_{\gamma}\frac{1}{z(z^2+1)}dz=\int_{\gamma}\frac{\frac{1}{z^2+1}}{z}dz=2\pi i\cdot f(0)=2\pi i\cdot\frac{1}{0^2+1}=2\pi [/mm] i$
Ergänzung: Dies gilt überings nicht nur für [mm] $r=\frac{1}{2}$ [/mm] sonder für jeden Radius $0<r<1$. Für $r=1$ liegen die zwei Polstellen $i$ und $-i$ von $f$ auf der Spur Deiner Kurve [mm] $\gamma$, [/mm] weswegen das Kurvenintegral in Falle $r=1$ nicht wohldefiniert ist. Für $r>1$ gilt die Bedingung [mm] $\overline{B}\subset [/mm] U$ nicht mehr, weswegen Du für $r>1$ die Cauchysche Integralformel nicht anwenden kannst. Daher solltest Du stets die Voraussetzungen genauestens überprüfen. Für [mm] $r=\frac{1}{2}$ [/mm] funktioniert aber alles 
Gruß Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Sa 06.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Was soll das ? Die Frage habe ich Dir doch schon hier beantwortet:
https://matheraum.de/read?i=557700
FRED
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