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Nächste Frage.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 16.11.2003
Autor: Logan

Hätte da noch eine Frage zur Aufgabe 25 auf S. 19.
Aufgabe: Welche gerade quadratische Pyramide mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Seitenkante?

Extremalbedingung: [mm] s^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] h^2, [/mm] also [mm] s=\sqrt{a^2+h^2} [/mm]
Nebenbedingung [mm] a^2*h [/mm] / 3.
Was ist aber a. Ist das die Seite der Grundfläche oder die Seite des Dreiecks, welches in der Pyramide vorhanden ist?

        
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Nächste Frage.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Hätte da noch eine Frage zur Aufgabe 25 auf S. 19.
> Aufgabe: Welche gerade quadratische Pyramide mit gegebenem
> Volumen hat die kürzeste Seitenkante?
>
> Extremalbedingung: [mm] s^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] h^2, [/mm] also [mm] s=\sqrt{a^2+h^2} > [/mm]
> Nebenbedingung [mm] a^2*h [/mm] / 3.
> Was ist aber a. Ist das die Seite der Grundfläche oder die
> Seite des Dreiecks, welches in der Pyramide vorhanden ist?

Eine sehr gute Frage, die ich schon beantwortet hatte: Es kann nicht die
Seitenlänge des Quadrats sein, sondern...?

Diese Länge liegt genau auf der Diagonale des Quadrats, und da es eine gerade Pyramide ist, ist diese Länge auch genau halb so lang wie diese Diagonale.

Ich schlage vor, wir nennen a die Quadrat-Seite und d diese Diagonale. Damit lautet deine Extremalbedingung jetzt:

[mm]s^2 = h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 [/mm]
bzw.
[mm]s = \sqrt{h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2} [/mm]

Welche Nebenbedinungen gibt es nun?
Deine erste Nebenbedinung
[mm] V=a^2 [/mm] * h/3
ist schon ganz schon mal sehr gut, wir benötigen aber noch eine zweite, denn wir haben in der Extremalbedingung ja noch ein d, was in deiner Nebenbedinung nicht vorkommt.

Ich würde jetzt vielleicht versuchen, das d durch eine Formel auszudrücken, in der nur a verwendet wird (diese Formel ist recht einfach...)

Viel Erfolg,
Marc


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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 So 16.11.2003
Autor: Logan

Meinst du vielleicht [mm] 2a^2=d^2 [/mm] also [mm] d=\sqrt{2a^2} [/mm]
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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Meinst du vielleicht [mm] 2a^2=d^2 [/mm] also [mm] d=\sqrt{2a^2} [/mm]

Hey, kannst du Gedanken lesen ;-)

Ein bißchen vereinfacht:

[mm] d=\sqrt{2}a [/mm]

Sehr gut, wie lautet nun die Zielfunktion?

Marc.


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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:33 So 16.11.2003
Autor: Logan

Zielfunktion [mm] s^2= [/mm] 1/2 [mm] d^2 [/mm] + 36 [mm] v^2/d^4?[/mm]
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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 So 16.11.2003
Autor: Marc

Extremalbedingung: [mm] s = \sqrt{ h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 } [/mm]

1. Nebenbedingung: [mm]V=\frac{a^2 * h}{3} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]3V=a^2 * h [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\frac{3V}{a^2}=h [/mm]

2. Nebenbedingung: [mm]d=\sqrt{2}*a[/mm]

Zielfunktion:
[mm]s^2 = \left(\frac{3V}{a^2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}*a}{2} \right)^2 [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] \frac{9V^2}{a^4} + \frac{2*a^2}{4} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] \frac{9V^2}{a^4} + \frac{a^2}{2} [/mm]

Das sieht ein bißchen anders aus bei dir, aber du hast die Zielfunktion ja in Abhängigkeit von d ausgedrückt; das hole ich zum Vergleich mal nach:
[mm]=[/mm] [mm] \frac{9V^2}{\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^4} + \frac{\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2}{2} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] \frac{4*9V^2}{d^4} + \frac{d^2}{4} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm] \frac{36V^2}{d^4} + \frac{d^2}{4} [/mm]

Da gibt es eine kleine Diskrepanz zwischen unseren Ergebnissen. Ich vermute mal, du hast irgendwo [mm] \left(\frac{1}{2}d\right)^2 = \frac{1}{2}d^2[/mm] gerechnet; richtig ist natürlich [mm] \left(\frac{1}{2}d\right)^2 = \frac{1}{4}d^2[/mm]

Gruß,
Marc


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Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 So 16.11.2003
Autor: Logan

Die erste Ableitung gleich null: [mm] a^6= [/mm] -1/2 + [mm] 36v^2 [/mm]
Stimmt das?
was mach ich denn jetzt mit [mm] a^6?[/mm]

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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

hast du deinen vorherigen Fehler eingesehen?

Wir hatten als Zielfunktion:
[mm] s^2 = \frac{9V^2}{a^4} + \frac{a^2}{2} [/mm]
[mm]=[/mm] [mm]9V^2*a^{-4} + \frac{1}{2} * a^2[/mm]

1. Ableitung:
[mm]s^2' = -36V^2*a^{-5} + a[/mm]

> Die erste Ableitung gleich null: [mm] a^6= [/mm] -1/2 + [mm] 36v^2 [/mm]
> Stimmt das?
> was mach ich denn jetzt mit [mm] a^6? [/mm]

Wie kommst du denn auf [mm] a^6? [/mm]


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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 So 16.11.2003
Autor: Logan

Wie kommst du denn von [mm] s^2 = \frac{9V^2}{a^4} + \frac{a^2}{2} [/mm] auf [mm] 9V^2*a^{-4} + \frac{1}{2} * a^2 [/mm]?
Löst sich der Bruch wegen dem Minus bei dem Exponenten von a auf?

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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:11 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Wie kommst du denn von [mm] s^2 = \frac{9V^2}{a^4} + > \frac{a^2}{2} [/mm] auf [mm] 9V^2*a^{-4} + \frac{1}{2} * a^2 > [/mm]?
> Löst sich der Bruch wegen dem Minus bei dem Exponenten von a
> auf?

So ähnlich.

Zunächst sind das natürlich zwei Funktionen, einmal die Ausgangsfunktion und dann ihre Ableitung; die angewendete Rechenregel ist
[mm] a^{-n} = \frac{1}{a^n} [/mm]:

[mm] s^2 = \frac{9V^2}{a^4} + \frac{a^2}{2} [/mm]
[mm]=[/mm][mm]9V^2*\frac{1}{a^4} + \frac{1}{2}*a^2 [/mm]
[mm]=[/mm][mm]9V^2*a^{-4} + \frac{1}{2}*a^2 [/mm]

Jetzt habe wir keine Brüche mehr und können ableiten (siehe vorherigen Beitrag von mir).

Marc.


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Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 16.11.2003
Autor: Logan

Achso naja gut :-)
Hmmmm ich glaub die Aufgabe ist ein bisschen zu schwer.phuuu
Komm beim gleich null setzten der ersten ABleitung auch nicht so ganz weiter.
Hab da noch kurz eine andere Frage. Ich hatte doch mal ziemlich lange so ein Blatt bearbeitet. Du hast dir das auch kopiert. Wenn das noch hast könntest dir vielleicht mal Aufgabe 4 angucken.
So ist mir alles klar bei dieser Aufgabe, bis auf die Untersuchung der Randwerte .Anscheinend sind 0 und 6 absolute Extrema, aber wie komm ich da drauf? Muss ich dafür die Funktion zeichen?Die Untersuchung der Randwerte haben wir nämlich in der Schule gemacht und ich weiß nicht mehr genau wie.
Ich schreib das jetzt alles in diesen Beitrag, weil ich gleich weg muss, kann also sein, dass ich erst etwas später Abends antworte.
Wenn die Aufgabe nicht hast, ist auch nicht schlimm.
Außerdem wollt ich mich schon mal bei dir und Stefan für eure Hilfe bedanken. Hättet ihr mir nicht geholfen wär ich wegen den ganzen Aufgaben, die ich nicht konnt, ausgerastet. Also vielen Dank noch mal.
Vielleicht treffen wir uns noch später hier.Ich schau auf jeden Fall noch mal rein vielleicht kannst ja noch kurz das mit den Randwerten beantworten.

Bis dann Ori

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Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Achso naja gut :-)
> Hmmmm ich glaub die Aufgabe ist ein bisschen zu schwer.phuuu
> Komm beim gleich null setzten der ersten ABleitung auch nicht
> so ganz weiter.

Wir hatten als erste Ableitung:
[mm]s^2' = -36V^2*a^{-5} + a[/mm]
[mm]0 = -36V^2*a^{-5} + a[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]-36V^2 + a^6 = 0[/mm]

(OK, jetzt weiß ich, wie du auf [mm] a^6 [/mm] gekommen bist, hatte ich vorhin nicht gesehen)
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]a^6 = 36V^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]a = \sqrt[6]{36V^2}[/mm]

> Hab da noch kurz eine andere Frage. Ich hatte doch mal ziemlich
> lange so ein Blatt bearbeitet. Du hast dir das auch kopiert.
> Wenn das noch hast könntest dir vielleicht mal Aufgabe 4
> angucken.
> So ist mir alles klar bei dieser Aufgabe, bis auf die
> Untersuchung der Randwerte .Anscheinend sind 0 und 6 absolute
> Extrema, aber wie komm ich da drauf? Muss ich dafür die
> Funktion zeichen?Die Untersuchung der Randwerte haben wir

Nein.
Ich habe die Aufgabe jetzt nicht rausgesucht, da ich denke, dass ich die Frage auch so beantworten kann.
Also, du hast ja bereits die relativen Extrema der Funktion f berechnet, sagen wir, an der Stelle [mm]x_0[/mm] ist ein Maximum.
Der zugehörige Funktionswert der Zielfunktion lautet dann [mm]y_0=f(x_0)[/mm].

Jetzt werden nur noch die Funktionswerte am Rand des Definitionsbereichs überprüft und mit den Funktionswerten der Extrema verglichen:

[mm]y_1 = f(0) = \ldots [/mm]
[mm]y_2 = f(6) = \ldots [/mm]

An der Stelle mit dem größten Funktionswert haben wir das absolute Maximum.
Eigentlich ganz einfach, oder?

Bis später dann,
Marc


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Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:48 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ja nur wie komm ich auf diese 6 und 0?
Darum gehts. Dann müsst ich ja die Funktion zeichnen oder nicht ?

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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 So 16.11.2003
Autor: Marc

Logan schrieb:

> Ja nur wie komm ich auf diese 6 und 0?
> Darum gehts. Dann müsst ich ja die Funktion zeichnen oder nicht

Ich finde die Aufgabe nicht mehr, könntest du eben (nur den Aufgabentext) abtippen, damit ich weiß, worum es geht?

Die Ränder des Definitionsbereichs ergeben sich eigentlich direkt aus der AUfgabenstellung, eine Zeichnung ist meist nicht nötig.

Gruß,
Marc


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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 So 16.11.2003
Autor: Logan

Es war eine Hypotenuse mit der Länge 6 cm gegeben.
Daher also die 6 dann ist natürlich auch 0 ein Randwert.
Müsste ich dann nicht die 6 und die 0 in die zweite Ableitung einsetzten?



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 22:37)

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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Es war eine Hypotenuse mit der Länge 6 cm gegeben.

Kann mich irgendwie nicht an die Aufgabe erinnern.

> Daher also die 6 dann ist natürlich auch 0 ein Randwert.

Das würde (trotz meiner Erinnerungslücke) Sinn machen.

> Müsste ich dann nicht die 6 und die 0 in die zweite Ableitung
> einsetzten?

Nein, das mußt du nur bei relativen Maxima machen, um so zu sagen zu überprüfen, ob es sich um einen "Berg" oder ein "Tal" an dieser Stelle handelt. An den Rändern muß aber kein relativer Hoch-/Tiefpunkt vorliegen, und falls doch, wäre eine Randstelle bereits bei der Bestimmung der relativen Extrema herausgekommen.

Gruß,
Marc.


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Nächste Frage.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ah ja stimmt. Also nur in y=.... einsetzten.
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