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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Momente der Normalverteilung
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Momente der Normalverteilung: Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Di 05.05.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Zeigen Sie, dass Satz 29.4 gilt. (Tipp Zeigen Sie mithilfe partieller Integration, dass [mm] E(Z^n) [/mm] = (n - 1) [mm] E(Z^{n-2}) [/mm] und verwenden Sie [mm] E(Z^0) [/mm] = E(1) = 1.)

Satz 29.4: Für die Momente einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z gilt:

[mm] E(Z^n) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ 1 * 3 * 5 \cdots (n - 1) , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm]

Hallo,

es ist doch:

[mm] E(Z^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm]

Und:

[mm] E(Z^{n - 2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm]

Jetzt kann man sich doch [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] wegdenken, und dann müsste ich doch mit partieller Integration von

[mm] \integral{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm] = [mm] \integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm]

bei

(n - 1) [mm] \integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm]

landen, richtig?

Aber wenn ich das partiell integriere, bekomme ich:

[mm] \integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1} [/mm] + (n - 1) [mm] \integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm]

Das ist doch offensichtlich nicht gleich; was soll ich denn gegen das [mm] -e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1} [/mm] tun? Oder habe ich falsch integriert?

Danke & Gruß,

Martin

        
Bezug
Momente der Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Mi 06.05.2020
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass Satz 29.4 gilt. (Tipp Zeigen Sie mithilfe
> partieller Integration, dass [mm]E(Z^n)[/mm] = (n - 1) [mm]E(Z^{n-2})[/mm]
> und verwenden Sie [mm]E(Z^0)[/mm] = E(1) = 1.)
>  
> Satz 29.4: Für die Momente einer standardnormalverteilten
> Zufallsvariablen Z gilt:
>  
> [mm]E(Z^n)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ 1 * 3 * 5 \cdots (n - 1) , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> es ist doch:
>  
> [mm]E(Z^n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>  
> Und:
>  
> [mm]E(Z^{n - 2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>  
> Jetzt kann man sich doch [mm]\bruch{1}{2 \pi}[/mm] wegdenken, und
> dann müsste ich doch mit partieller Integration von
>  
> [mm]\integral{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm] = [mm]\integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>  
> bei
>  
> (n - 1) [mm]\integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>  
> landen, richtig?

Nein. Du schreibst [mm] \int, [/mm] Du integrierst also unbestimmt. Du landest richtig, und das sollst Du auch zeigen, wenn Du [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] schribst (siehe unten).


>  
> Aber wenn ich das partiell integriere, bekomme ich:
>  
> [mm]\integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm] =
> [mm]-e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}[/mm] + (n - 1) [mm]\integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>  
> Das ist doch offensichtlich nicht gleich; was soll ich denn
> gegen das [mm]-e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}[/mm] tun? Oder habe ich
> falsch integriert?

Du hast richtig unbestimmt integriert. Zum Ziel kommst Du so:


[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} = -e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}|_{- \infty}^{\infty} + (n - 1) \integral_{- \infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]

Es ist

    [mm] $e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}|_{- \infty}^{\infty}=0$ [/mm]

>  
> Danke & Gruß,
>  
> Martin


Bezug
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