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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Matrixnorm Abschätzung
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Matrixnorm Abschätzung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Do 17.05.2012
Autor: Lonpos

Aufgabe
Wenn [mm] \parallel Ax\parallel\ge{\lambda*\parallel x\parallel} [/mm] für alle x in [mm] \IC^n [/mm] mit [mm] \lambda>0 [/mm] und beliebiger Vektornorm, dann existiert [mm] A^{-1} [/mm] und es gilt [mm] \parallel A^{-1}\parallel\le{\lambda^{-1}} [/mm] für die zur Vektornorm gehörige Matrixnorm

Das diese Äquivalenz gelten muss ist einleuchtend, ich bekomme es aber nicht zusammen, sie zu beweisen. Vielleicht hat jemand einen Tipp von euch.

        
Bezug
Matrixnorm Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Fr 18.05.2012
Autor: donquijote


> Wenn [mm]\parallel Ax\parallel\ge{\lambda*\parallel x\parallel}[/mm]
> für alle x in [mm]\IC^n[/mm] mit [mm]\lambda>0[/mm] und beliebiger
> Vektornorm, dann existiert [mm]A^{-1}[/mm] und es gilt [mm]\parallel A^{-1}\parallel\le{\lambda^{-1}}[/mm]
> für die zur Vektornorm gehörige Matrixnorm
>  Das diese Äquivalenz gelten muss ist einleuchtend, ich
> bekomme es aber nicht zusammen, sie zu beweisen. Vielleicht
> hat jemand einen Tipp von euch.

Dass die Inverse existiert, folgt schon aus [mm] Ax\ne [/mm] 0 für alle [mm] x\ne [/mm] 0.
Für die Abschätzung setzt du y=Ax und [mm] x=A^{-1}y [/mm] und erhältst [mm] \lambda\|A^{-1}y\|\le\|y\| [/mm] für alle y

Bezug
                
Bezug
Matrixnorm Abschätzung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:56 Fr 18.05.2012
Autor: Lonpos

Danke für deine Hilfe.
Ich habe hier noch 2 andere Ungleichungen bei denen mir gerade nichts passendes einfällt

(1): [mm] \parallel A^{-1}\parallel_{\infty}\le{\bruch{1}{\min_{i}(|A_{ii}|-\summe_{k\not=i}^{}|A_{ik}|)}} [/mm]

(2): [mm] \parallel A^{-1}\parallel_{1}\le{\bruch{1}{\min_{k}(|A_{kk}|-\summe_{k\not=i}^{}|A_{ik}|)}} [/mm]

Die Ausdrücke auf der rechten Seite sind positiv.

Bezug
                        
Bezug
Matrixnorm Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Fr 18.05.2012
Autor: Lonpos

Vielleicht gibt es eine Möglichkeit es mit

[mm] \parallel A^{\infty}\parallel_{\infty}=max\summe_{k=1}^{m}|A_{ik}| [/mm]

und

[mm] \parallel A^{-1}\parallel_{1}=max\summe_{i=1}^{m}|A_{ik}| [/mm]

zu zeigen.

Bezug
                        
Bezug
Matrixnorm Abschätzung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 So 20.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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