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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Matrix Fibonacci Folge
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Matrix Fibonacci Folge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Di 22.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Aufgabe 3

a) Betrachten Sie die Matrix

A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]

in Mat(2, [mm] \IR [/mm] ).

Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie eine Basiswechselmatrix S [mm] \in [/mm] GL(2, [mm] \IR [/mm] ), so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalgestalt hat.

b) Die Folge der Fibonacci-Zahlen [mm] c_{1}, c_{2}, [/mm] ... [mm] \in \IN [/mm] ist definiert durch [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] = 1 und [mm] c_{n+2} [/mm] = [mm] c_{n+1} [/mm] + [mm] c_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Benutzen Sie Teil a), um einen geschlossenen Ausdruck für [mm] c_{n} [/mm] anzugeben, der nur von n abhängt.

Hinweis: Für Matrix A aus teil a) gilt: A * [mm] \vektor{c_{n+1} \\ c_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{c_{n+2} \\ c_{n+1}} [/mm]

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten bei Aufgabe 3 b), weil ich nicht weiß, was mit geschlossener Ausdruck für [mm] c_{n} [/mm] gemeint ist, welcher nur von n abhängt.
Kann mir bitte jemand helfen?

MfG

        
Bezug
Matrix Fibonacci Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Di 22.05.2012
Autor: wieschoo


> Aufgabe 3
>  
> a) Betrachten Sie die Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> in Mat(2, [mm]\IR[/mm] ).
>  
> Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie
> eine Basiswechselmatrix S [mm]\in[/mm] GL(2, [mm]\IR[/mm] ), so dass [mm]S^{-1}AS[/mm]
> Diagonalgestalt hat.
>  
> b) Die Folge der Fibonacci-Zahlen [mm]c_{1}, c_{2},[/mm] ... [mm]\in \IN[/mm]
> ist definiert durch [mm]c_{1}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm] = 1 und [mm]c_{n+2}[/mm] = [mm]c_{n+1}[/mm]
> + [mm]c_{n}[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm] Benutzen Sie Teil a), um einen
> geschlossenen Ausdruck für [mm]c_{n}[/mm] anzugeben, der nur von n
> abhängt.
>  
> Hinweis: Für Matrix A aus teil a) gilt: A *
> [mm]\vektor{c_{n+1} \\ c_{n}}[/mm] = [mm]\vektor{c_{n+2} \\ c_{n+1}}[/mm]

Mit anderen Worten
[mm]A^n\underbrace{\vektor{c_{2} \\ c_1}}_{M_2}=\underbrace{\vektor{c_{n+2} \\ c_{n+1}}}_{M_{n+2}}[/mm]

Nun hast du
[mm]\pmat{ | & | \\ M_{n+1} & M_{n} \\ | & |} =A^n\pmat{ | & | \\ M_{1} & M_{0} \\ | & |}[/mm]

Setzt man noch [mm]c_0=1[/mm] und [mm]c_{-1}=1[/mm]
Ist
[mm]\pmat{ | & | \\ M_{n+1} & M_{n} \\ | & |} =A^n\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

Jetzt du

>  
> Hallo,
>  
> ich habe Schwierigkeiten bei Aufgabe 3 b), weil ich nicht
> weiß, was mit geschlossener Ausdruck für [mm]c_{n}[/mm] gemeint
> ist, welcher nur von n abhängt.
>  Kann mir bitte jemand helfen?
>  
> MfG


Bezug
                
Bezug
Matrix Fibonacci Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mi 23.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Hi,

du meinst [mm] c_{0} [/mm] = 0, oder?

Bezug
                        
Bezug
Matrix Fibonacci Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Mi 23.05.2012
Autor: wieschoo

Bei den Indizies komm ich öfters durch einander. Jedenfalls solltest du am Ende auf

[mm]\pmat{c_{n+1}&c_n\\ c_n&c_{n-1}}=A^n[/mm]

kommen.

Bezug
                                
Bezug
Matrix Fibonacci Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Do 24.05.2012
Autor: Blackburn4717537

Hi,

danke, ich konnte die Aufgabe lösen.

Bezug
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