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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - M nicht abgeschlossen
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M nicht abgeschlossen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mo 25.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Sei $ D:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 \medspace [/mm] | [mm] \medspace x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}y^2 [/mm] = 1 } [mm] \cup [/mm] { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] \medspace [/mm] x+y > 3 } $

a) Skizziere D.

b) Zeige, dass D nicht abgeschlossen ist.

Hallo,

[]hier die Skizze der Menge

Zeige, dass D weder abgeschlossen noch beschränkt ist.

1) Nicht abgeschlossen:

In der Beispiellösung sagt der Prof: Wir zeigen, dass $ [mm] \overline{D} \neq [/mm] D $ (also D nicht abgeschlossen)  

$ (2,1) [mm] \neq [/mm] D $, denn $ 2+1=3 $ und $ [mm] 2^2+\bruch{1}{4}*1^2 [/mm] > 1  $

Hab ich verstanden. (2,1) liegt auf dem Rand. Da " > 1" gehört der Rand nicht zu M.


Dann:
$ (2,1) [mm] \in \overline{D}, [/mm] $ denn $ [mm] U_\epsilon((2,1)) \cap \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \} \neq \emptyset \medspace [/mm] $,$ [mm] \forall\epsilon [/mm] > 0  $

Zwei Sachen verstehe ich nicht: Warum geht er über den Schnitt?

Und warum ist der Schnitt der Epsilon-Umgebung von (2,1) mit x+y > 3 nicht leer?


        
Bezug
M nicht abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 25.11.2019
Autor: ChopSuey


> Sei [mm]D:= {(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x^2 + \bruch{1}{4}y^2 = 1 } \cup { (x,y) \in \IR^2 | \medspace x+y > 3 }[/mm]
>  

Ich vermute, dass das $$ D:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x^2 + \bruch{1}{4}y^2 = 1 \} \cup \{ (x,y) \in \IR^2 | \medspace x+y > 3 \}$$ [/mm]
heißen soll.

> a) Skizziere D.
>  
> b) Zeige, dass D nicht abgeschlossen ist.
>  Hallo,
>  
> []hier die Skizze der Menge
>  
> Zeige, dass D weder abgeschlossen noch beschränkt ist.
>  
> 1) Nicht abgeschlossen:
>  
> In der Beispiellösung sagt der Prof: Wir zeigen, dass
> [mm]\overline{D} \neq D[/mm] (also D nicht abgeschlossen)  
>
> [mm](2,1) \neq D [/mm], denn [mm]2+1=3[/mm] und [mm]2^2+\bruch{1}{4}*1^2 > 1 [/mm]

Das soll vermutlich $(2,1) [mm] \not\in [/mm] D$ heißen.

>  
> Hab ich verstanden. (2,1) liegt auf dem Rand. Da " > 1"
> gehört der Rand nicht zu M.

Was ist $M$? Du meinst $D$, oder?

>  
>
> Dann:
>  [mm](2,1) \in \overline{D},[/mm] denn [mm]U_\epsilon((2,1)) \cap \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \} \neq \emptyset \medspace [/mm],[mm] \forall\epsilon > 0 [/mm]
>  
> Zwei Sachen verstehe ich nicht: Warum geht er über den
> Schnitt?

Er zeigt eigentlich bloß, dass $(2,1) [mm] \in \partial [/mm] D$ gilt.

Ist $M$ eine Teilmenge eines top. Raumes $X$, so gilt

[mm] $\overline{M} [/mm] = [mm] \partial [/mm] M [mm] \cup M^\circ [/mm] \ \ [mm] (\*)$ [/mm]

wobei mit $ [mm] M^\circ$ [/mm] das Innere von $M$ gemeint ist. Daraus folgt dass [mm] $\partial [/mm] M = [mm] \overline{M} \setminus M^\circ [/mm] $.

Wie du richtig erkannt hast, ist $(2,1)$ ein Randpunkt von $D$. Daraus folgt wegen [mm] $(\*)$ [/mm] bereits $(2,1) [mm] \in \overline{D}$. [/mm]  Nun ist ganz offenbar $(2,1) [mm] \not\in [/mm] D$. Daraus folgt schließlich [mm] $\overline{D} \not= [/mm] D$.

>  
> Und warum ist der Schnitt der Epsilon-Umgebung von (2,1)
> mit x+y > 3 nicht leer?
>  

Betrachten wir $A = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \}$. [/mm] Dann ist [mm] $\partial [/mm] A = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y = 3 \medspace \}$. [/mm] Für alle $(x,y) [mm] \in \partial [/mm] A$ gilt, dass jede Umgebung $U = [mm] U_\varepsilon(x,y)$ [/mm] stets Punkte aus [mm] $\partial [/mm] A$ sowie Punkte aus dem Komplement von [mm] $\partial [/mm] A$ enthält. Das ist eine wesentliche Eigenschaft von Randpunkten.

LG,
ChopSuey

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