Lösung komplexer Gleichungen: < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Di 04.11.2014 | | Autor: | cdm |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen folgender Gleichungen |
Hallo zusammen,
die erste Aufgabe lautete:
[mm] \bruch{1}{2}z^2+2z+\bruch{5}{2}=0 [/mm]
das habe ich folgendermaßen gelöst;
[mm] z^2+4z+5=0 [/mm]
[mm] z_1_,_2=-2 \pm \wurzel{-1} [/mm]
[mm]z_1=-2+i [/mm]
[mm]z_2=-2-i [/mm]
Die zweite Aufgabe lautete:
[mm] z^2=-3j [/mm]
Hier ist mir nicht ganz klar, was ich zu tun habe.
Ich habe mir zwei mögliche Lösungswege überlegt, die beide scheinbar nicht funktionieren.
Erste Überlegung;
[mm]z^2=i^2=-1 [/mm]
[mm]-1=-3j [/mm]
[mm]j= \bruch {1}{3} [/mm]
Wobei ich mir denke, dass ich mir das ein wenig zu einfach gemacht habe. Das ergibt ja irgendwie keinen Sinn, erst recht keine Lösung im komplexen Zahlenraum.
Meine zweite Überlegung war;
[mm] z^2+3j=0[/mm]
[mm] z_1_,_2=-\bruch{3}{2} \pm \wurzel {\bruch{9}{4}} [/mm]
Aber hier ist das Argument unter der Wurzel ja Positiv, wodurch ich meines Wissens nach auch keine Lösung im komplexen Zahlenraum bekomme.
Ich möchte keine Lösung, nur ein paar Tipps, wo meine Fehler liegen und was ich hier übersehen / nicht berücksichtigt habe.
Vielen Dank und beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:44 Di 04.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ich nehme mal an, dass j die imaginäre Einheit ist.
Dann ist [mm] $-j=\exp(j\pi(2k-1/2))$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Damit solltest du nun leicht 2 Lösungen bestimmen können.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:41 Di 04.11.2014 | | Autor: | cdm |
Hallo und danke für deine Antwort,
könntest du mir deine Vorgehensweise ein wenig genauer erklären? Mir erschließt sich nicht ganz, wie du hier auf e kommst. Und auch pi erschließt sich mir nicht. Hast du die Gleichung in Polarkoordinaten umgeformt? und wenn ja, warum?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten,
die algebraische Form a+ib,
die trigonometrische Form der Polarfom [mm] r*(cos\varphi+i*sin\varphi),
[/mm]
die Exponentialform der Polarform [mm] r*e^{i\varphi}.
[/mm]
Ich denke und hoffe, die algebraische Form ist klar.
Denk' Dir nun eine komplexe Zahl in der Zahlenebene:
es ist in der Polarform r die Länge des Pfeils vom Ursprung zu der Zahl, und [mm] \phi [/mm] ist der Winkel, den der Pfeil mit der pos. x-Achse einschließt.
Das [mm] \pi, [/mm] welches Dich zuvor irritierte, kommt vom Winkel, der im Bogenmaß gemessen wird.
Du hattest die komplexe Zahl -3i.
Du findest sie in der Zahlenebene im Punkt (0|-3).
Die Länge des besagten Pfeiles ist offenbar r=3, und der Winkel zw. x-Achse und Pfeil beträgt [mm] \vaphi=270°=\bruch{3}{2}\pi.
[/mm]
Somit hat man [mm] -3i=3e^{i*\bruch{3}{2}\pi}.
[/mm]
[Naja, und wenn Du weißt, daß [mm] \varphi=270°=270°+k*360° [/mm] mit [mm] k\in \IZ, [/mm] dann wird Dir klar, daß
[mm] -3i=3e^{i*(\bruch{3}{2}\pi+k*2\pi)} [/mm] für [mm] k\in \IZ
[/mm]
ebenfalls richtig ist.]
Bei wikipedia unter "komplexe Zahlen" ist das alles erklärt, der Abschnitt "Pragmatische Rechenregeln" ist besonders nützlich.
LG Angela
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