Lösung AWP mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]x'=(t-x+3)^2, x(0)=0[/mm]. Bestimmen Sie eine Lösung. |
Hallo!
Also, soweit bin ich gekommen:
Setze [mm]y(t):=t-x+3[/mm] also ist [mm]y'=1-x'[/mm] und [mm]y'=1-y^2=(1-y)(1+y)[/mm].
Es folgt [mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(1-y))=x+c,c \in \IR[/mm]. Auflösen liefert dann [mm]y=\sqrt{1-e^{2(t+c)}}[/mm].
Resubstitution und Auflösen: [mm]x=t-\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3[/mm].
Laut Anfangsbedingung soll [mm]0=\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3 \Rightarrow e^{2c}=-2[/mm] sein....und das haut ja wohl nicht hin. Wo ist der Fehler?
Vielen Dank schon mal fürs Drüberschauen.
Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]x'=(t-x+3)^2, x(0)=0[/mm].
> Bestimmen Sie eine Lösung.
> Hallo!
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> Also, soweit bin ich gekommen:
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> Setze [mm]y(t):=t-x+3[/mm] also ist [mm]y'=1-x'[/mm] und [mm]y'=1-y^2=(1-y)(1+y)[/mm].
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> Es folgt [mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(1-y))=x+c,c \in \IR[/mm].
> Auflösen liefert dann [mm]y=\sqrt{1-e^{2(t+c)}}[/mm].
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> Resubstitution und Auflösen: [mm]x=t-\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3[/mm].
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> Laut Anfangsbedingung soll [mm]0=\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3 \Rightarrow e^{2c}=-2[/mm]
> sein....und das haut ja wohl nicht hin. Wo ist der Fehler?
Mit obiger Substitution ist y(0)=3, also ist 1-y(0)=-2.
Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1-y} [/mm] ist daher ln(|1-y|)=ln(y-1)
Du bekommst dann $ [mm] y=\sqrt{1+e^{2(t+c)}} [/mm] $.
F
RED
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> Vielen Dank schon mal fürs Drüberschauen.
>
> Grüße
> couldbeworse
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> > Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]x'=(t-x+3)^2, x(0)=0[/mm].
> > Bestimmen Sie eine Lösung.
> > Hallo!
> >
> > Also, soweit bin ich gekommen:
> >
> > Setze [mm]y(t):=t-x+3[/mm] also ist [mm]y'=1-x'[/mm] und [mm]y'=1-y^2=(1-y)(1+y)[/mm].
> >
> > Es folgt [mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(1-y))=x+c,c \in \IR[/mm].
> > Auflösen liefert dann [mm]y=\sqrt{1-e^{2(t+c)}}[/mm].
> >
> > Resubstitution und Auflösen: [mm]x=t-\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3[/mm].
> >
> > Laut Anfangsbedingung soll [mm]0=\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3 \Rightarrow e^{2c}=-2[/mm]
> > sein....und das haut ja wohl nicht hin. Wo ist der Fehler?
>
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> Mit obiger Substitution ist y(0)=3, also ist 1-y(0)=-2.
OK klar, aber weiter verstehe ich es leider nicht..
> Eine Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1-y}[/mm] ist daher
> ln(|1-y|)=ln(y-1)
Warum betrachte ich jetzt nur noch [mm]\bruch{1}{1-y}[/mm]?
> Du bekommst dann [mm]y=\sqrt{1+e^{2(t+c)}} [/mm].
Grüße
couldbeworse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]x'=(t-x+3)^2, x(0)=0[/mm].
> > > Bestimmen Sie eine Lösung.
> > > Hallo!
> > >
> > > Also, soweit bin ich gekommen:
> > >
> > > Setze [mm]y(t):=t-x+3[/mm] also ist [mm]y'=1-x'[/mm] und [mm]y'=1-y^2=(1-y)(1+y)[/mm].
> > >
> > > Es folgt [mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(1-y))=x+c,c \in \IR[/mm].
> > > Auflösen liefert dann [mm]y=\sqrt{1-e^{2(t+c)}}[/mm].
> > >
> > > Resubstitution und Auflösen: [mm]x=t-\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3[/mm].
> > >
> > > Laut Anfangsbedingung soll [mm]0=\sqrt{1-e^{2(t+c)}} +3 \Rightarrow e^{2c}=-2[/mm]
> > > sein....und das haut ja wohl nicht hin. Wo ist der Fehler?
> >
> >
> > Mit obiger Substitution ist y(0)=3, also ist 1-y(0)=-2.
>
> OK klar, aber weiter verstehe ich es leider nicht..
>
> > Eine Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1-y}[/mm] ist daher
> > ln(|1-y|)=ln(y-1)
>
> Warum betrachte ich jetzt nur noch [mm]\bruch{1}{1-y}[/mm]?
Da hab ich nicht gesagt, sondern:
[mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(y-1))=t+c,c \in \IR[/mm].
FRED
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> > Du bekommst dann [mm]y=\sqrt{1+e^{2(t+c)}} [/mm].
>
>
> Grüße
> couldbeworse
> >
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Hallo FRED,
> > > Mit obiger Substitution ist y(0)=3, also ist 1-y(0)=-2.
> > > Eine Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1-y}[/mm] ist daher
> > > ln(|1-y|)=ln(y-1)
Vielleicht eine blöde Frage, aber warum kann ich diese Stammfunktion folgern?
> Da hab ich nicht gesagt, sondern:
>
> [mm]\int \bruch{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int 1dt \Rightarrow \bruch{1}{2}(ln(1+y)+ln(y-1))=t+c,c \in \IR[/mm].
Ach so, dann paßt es. Danke!
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> > > Du bekommst dann [mm]y=\sqrt{1+e^{2(t+c)}} [/mm].
Grüße
couldbeworse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 11.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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