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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösen eines einfachen LGS
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Lösen eines einfachen LGS: Gleichungen dividieren?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Mo 12.05.2014
Autor: Olli1968

Aufgabe
Löse das folgende LGS für die unbekannten [mm]x'_{1} [/mm] und [mm]x'_{2} [/mm].
I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2}) [/mm]
II: [mm]\alpha*(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=\beta(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2} ) [/mm].


Hallo liebe Mathematik-Freunde,
während der Nachhilfestunde kam folgende Diskussion auf und ich würde gerne auch eure Meinungung dazu hören.

Ich habe dieses LGS so gelöst, dass ich die Gleichung I nach [mm] x'_{2}[/mm] umgestellt und in Gleichung II eingesetzt habe.

Bekam dann die Lösungen für [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha}{2\beta}\pm\wurzel{(\bruch{\alpha}{2\beta})^{2}+x_{1}^{2}-\bruch{\alpha}{\beta}x_{1}-2x_{2} }[/mm]. ( analog für [mm]x'_{2} [/mm] ) heraus.

Jetzt sagte mir mein Nachhilfeschüler, dass, wenn man Gleichung II durch Gleichung I dividiert, folgende Gleichungen erhält:
I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2}) [/mm]
IIa: [mm] x_{1}+x'_{1}=x'_{2}+x_{2}[/mm]

und somit [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha*x_{1}+\beta*(2x_{2}-x_{1})}{\alpha+\beta}[/mm] (analog für [mm]x_{2}[/mm]).

Aber kann man denn so einfach Gleichungen dividieren? Ich dachte immer, dass man beim LGS nur äquivalentsumformungen benutzen dürfte?

Würde mich sehr über antworten freuen
MfG
Olli

        
Bezug
Lösen eines einfachen LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 12.05.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Löse das folgende LGS für die unbekannten [mm]x'_{1}[/mm] und
> [mm]x'_{2} [/mm].
>   I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2})[/mm]
>  II:
> [mm]\alpha*(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=\beta(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2} ) [/mm].

Ich sehe hier kein Lineares GleichungsSystem.

> Hallo liebe Mathematik-Freunde,
> während der Nachhilfestunde kam folgende Diskussion auf
> und ich würde gerne auch eure Meinungung dazu hören.
>  
> Ich habe dieses LGS so gelöst, dass ich die Gleichung I
> nach [mm]x'_{2}[/mm] umgestellt und in Gleichung II eingesetzt
> habe.
>  
> Bekam dann die Lösungen für
> [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha}{2\beta}\pm\wurzel{(\bruch{\alpha}{2\beta})^{2}+x_{1}^{2}-\bruch{\alpha}{\beta}x_{1}-2x_{2} }[/mm].
> ( analog für [mm]x'_{2}[/mm] ) heraus.
>  
> Jetzt sagte mir mein Nachhilfeschüler, dass, wenn man
> Gleichung II durch Gleichung I dividiert, folgende
> Gleichungen erhält:
>  I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2})[/mm]
>  IIa: [mm]x_{1}+x'_{1}=x'_{2}+x_{2}[/mm]
>  
> und somit
> [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha*x_{1}+\beta*(2x_{2}-x_{1})}{\apha+\beta}[/mm]
> (analog für [mm]x_{2}[/mm]).
>  
> Aber kann man denn so einfach Gleichungen dividieren? Ich
> dachte immer, dass man beim LGS nur äquivalentsumformungen
> benutzen dürfte?

Bei Gleichungen egal welcher Art dürfen nur Äquivalenzumformungen benutzt werden.
Gleichungen dividieren macht auch überhaupt keinen Sinn.
Allerdings ist das Ergebnis richtig.
Denn [mm] $a(x_1^2-x_1'^2)=a(x_1-x_1')(x_1+x_1')=b(x_2-x_2')(x_1+x_1')$, [/mm] durch Einsetzen von I.
Damit kann man, mit geeigneter Fallunterscheidung ,in der II durch [mm] $b(x_2-x_2')$ [/mm] teilen und erhält das Ergebnis.

> Würde mich sehr über antworten freuen
>  MfG
>  Olli  

Ob die Lösungen jeweils richtig sind hab ich nicht nachgeprüft.


Bezug
                
Bezug
Lösen eines einfachen LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:03 Mo 12.05.2014
Autor: Olli1968

Danke MaslanyFanclub für die schnelle Antwort ...

Bezug
                
Bezug
Lösen eines einfachen LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mo 12.05.2014
Autor: Olli1968

Hallo nochmal,

also ich habe nochmal alles durchgerechnet und nun folgendes erhalten
(statt [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] setzte ich nun a und b ein).

I: [mm] a(x_{1}-x'_{1})=b(x'_{2}-x_{2})[/mm]
II: [mm] a(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=b(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2})[/mm]

Dividiere nun beide Gleichungungen jeweils mit b und stelle beide Seiten nach [mm]x'_{2}[/mm] bzw. [mm]x'_{2}^{2}[/mm] um und erhalte

I: [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+x_{2}=x'_{2} [/mm]
II: [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})+x_{2}^{2}=x'_{2}^{2}[/mm]

Nun setzte ich I in II ein und erhalte

[mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})+x_{2}^{2}=(\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+x_{2})^{2}=(\bruch{a}{b})^{2}(x_{1}-x'_{1})^{2}+2\bruch{a}{b}x_{2}(x_{1}-x'_{1})+x_{2}^{2}[/mm]

und somit

[mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=(\bruch{a}{b})^{2}(x_{1}-x'_{1})^{2}+2\bruch{a}{b}x_{2}(x_{1}-x'_{1})[/mm]

dividiere nun mit [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})[/mm] und erhalte

[mm]x_{1}+x'_{1}=\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+2x_{2}[/mm]

stelle nun nach [mm]x'_{1}[/mm] um und erhalte

[mm] x'_{1}=\bruch{(\bruch{a}{b}-1)x_{1}+2x_{2}}{1+\bruch{a}{b}} [/mm]

erweitere die einzelnen Terme mit b und erhalte

[mm] x'_{1}=\bruch{\bruch{a-b}{b}x_{1}+\bruch{2bx_{2}}{b}}{\bruch{a+b}{b}}= \bruch{(a-b)x_{1}+2bx_{2}}{a+b} [/mm]

und somit

[mm] x'_{1}=\bruch{ax_{1}+b(2x_{2}-x_{1})}{a+b}[/mm]

das stimmt nun mit der Lösung vom Lehrer überein ...

Frage: Kann man die Gleichungen dann doch dividieren (II : I)?

LG
Olli

Bezug
                        
Bezug
Lösen eines einfachen LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mo 12.05.2014
Autor: fred97

Gleichungen kann man durchaus "dividieren":

Sei

(1) A=B

und


(2) a=b.

Ist a [mm] \ne [/mm] 0, so ist

   [mm] \bruch{A}{a}=\bruch{B}{a}=\bruch{B}{b} [/mm]

FRED

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