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Hallo
ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Sei [mm] 0\not=A \in K^{m \times n}. [/mm] Zeige: Rg(A) ist gleich dem Minimum aller [mm] l\in \IN, [/mm] für die [mm] X\in (K^{m \times 1} )^{l} [/mm] und [mm] Y\in (K^{1 \times n} )^{l} [/mm] existieren mit A = [mm] X_{1}Y_{1} [/mm] + .... + [mm] X_{l}Y_{l} [/mm]
Meine Frage: Wie bekomme ich so eine Zerlegung von A hin. Ich habe die Vermutung, dass das irgendwas mit dem Bild und Kern der Matrix zu tun hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Di 01.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Anschaulich ist die Aufgabe völlig klar. 
$Rang(A)$ ist die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems des Spaltenraumes.
In
[mm] $X_1Y_1+ \ldots [/mm] + [mm] X_lY_l$
[/mm]
stehen aber in den Spalten gerade Linearkombinationen der [mm] $X_i$'s ($i=1,\ldots,l$) [/mm] (die Koeffizienten der Linearkombinationen werden jeweils durch die [mm] $Y_i$'s $(i=1,\ldots,l)$ [/mm] gegeben).
Die minimale Anzahl an [mm] $X_i$'s, [/mm] um alle Spaltenvektoren von $A$ zu erzeugen, ist daher der Rang von $A$.
Das Ganze muss man jetzt nur noch formalisieren...
Liebe Grüße
Stefan
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