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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange und Lambda Vorzeichen
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Lagrange und Lambda Vorzeichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 So 11.07.2004
Autor: Mathe_DAU

Hallo,

im Normalfall stell ich die Langrange Funktion ja folgender Maßen auf:

L= Hauptfunktion +  [mm] \lambda(Nebenbedingung [/mm] in Nullform)

Soweit, so gut. Jetzt taucht bei mir im Skript folgendes auf

Hauptfunktion: DB= (p-k)*x(W,D,V)-W-D-V unter der

Nebenbedingung: W+D+V    [mm] \le [/mm] B umgestellt nach 0
                             W+D+V-B [mm] \le [/mm] 0

Meine Lagrange säh jetzt so aus:

L= (p-k)*x(W,D,V)-W-D-V +  [mm] \lambda( [/mm] W+D+V-B)


Im Skript steht jetzt zu meiner Irritierung:

L= (p-k)*x(W,D,V)-W-D-V -  [mm] \lambda( [/mm] W+D+V-B)


Hab ich da jetzt 'nen Paul oder ist da ein Fehler im Skript?

Vielen Dank für jede Hilfe!!!

MfG

Mathe_DAU

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.


        
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Lagrange und Lambda Vorzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 So 11.07.2004
Autor: Micha

Hallo Mathe_DAU!
Also ich hab VWL im Nebenfach und bei uns war die Lagrangefunktion immer so gegeben:

$ L = HF - [mm] \lambda [/mm] ( NB in Nullform) $

Scheinst da nur ein Fehler in deinen Aufzeichnungen zu haben.
Brauchst du für das Minus noch eine analytische Herleitung? Oder würde das zu weit führen?

Gruß, Micha

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Bezug
Lagrange und Lambda Vorzeichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Mo 12.07.2004
Autor: Mathe_DAU

Vieln Dank für deine Antwort!

Kann es sein daß bei einer Minimierung die NB mit  - [mm] \lambda [/mm] und bei einer Maximierung die NB mit  + [mm] \lambda [/mm] in die Lagrange Funktio eingeht?

Habe nämlich jetzt schon zwei Bücher und mein Mathe Skript (dass ich das noch gefunden habe) bemüht.

MfG

Mathe_DAU

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Lagrange und Lambda Vorzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 12.07.2004
Autor: Julius

Hallo Mathe_DAU!

Das hängt davon ab, welche Ungleichung die Nebenbedingung hat und welche Vorzeichenbedingung du an [mm] $\lambda$ [/mm] stellst, siehe hier (lies dir bitte auch den Link komplett und sorgfältig durch).

Liebe Grüße
Julius

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Lagrange und Lambda Vorzeichen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mo 12.07.2004
Autor: Mathe_DAU

Hallo Julius,

vielen Dank für deine Antwort. Hatte mir das Handout schon vor meinem Posting durchgelesen, aber offensichtlich die entscheidenden Stellen überlesen.

MfG

Mathe_DAU

Bezug
        
Bezug
Lagrange und Lambda Vorzeichen: Multiplikator-Methode bei NB-Ungleichung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mo 12.07.2004
Autor: SirJective

Hallo Mathe DAU,

meine Ana-Vorlesung liegt schon eine Weile zurück, und ich habe mich immer gefragt, wie man eine Ungleichung als Nebenbedingung verwenden kann.

> im Normalfall stell ich die Langrange Funktion ja folgender
> Maßen auf:
>  
> L= Hauptfunktion +  [mm]\lambda[/mm](Nebenbedingung in Nullform)

Soweit ich weiss findest du damit doch nur kritische Punkte, für die die Nebenbedingung 0 wird, oder?

> [...]
> Meine Lagrange säh jetzt so aus:
>  
> L= (p-k)*x(W,D,V)-W-D-V +  [mm]\lambda([/mm] W+D+V-B)
>
> Im Skript steht jetzt zu meiner Irritierung:
>  
> L= (p-k)*x(W,D,V)-W-D-V -  [mm]\lambda([/mm] W+D+V-B)

So wie ich das bisher verstanden habe - die Nebenbedingung wird als Gleichung erfüllt - macht das Vorzeichen von [mm] \lambda [/mm] keinen Unterschied.

Kann mich da bitte jemand aufklären, wie und warum man den Lagrange-Multiplikator auf eine Nebenbedingung der Form $g(x) [mm] \leq [/mm] 0$ anwenden kann?

Gruss,
SirJective


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Bezug
Lagrange und Lambda Vorzeichen: Multiplikator-Methode bei NB-Ungleichung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 12.07.2004
Autor: Julius

Hallo SirJective!

Schau mal hier:

[]http://homepage.univie.ac.at/Wilfried.Grossmann/Vorlesungen/Mathe2/NichtlineareOptimierung-handout.pdf

Die [mm] $\le$-Nebenbedingung [/mm] impliziert, dass der Gradient aus dem zulässigen Bereich hinausweist und der Gradient der Zielfunktion in den zulässigen Bereich zeigt. Somit gilt im Lösungspunkt [mm] $X^{\*}$ [/mm] folgende Gleichung für die Gradienten gemeinsam mit der Vorzeichenbedingung für den Multiplikator:

[mm] $\nabla f(x^{\*}) [/mm] = - [mm] \lambda \nabla g(x^{\*})$, $\lambda>0$.
[/mm]

Viele Grüße
Julius

Bezug
                        
Bezug
Lagrange und Lambda Vorzeichen: Danke (Re: Multiplikator-Methode bei NB-Ungleichung?)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Di 13.07.2004
Autor: SirJective

Danke julius, das befriedigt meine Neugier. :-)


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