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LP Optimierung umformulieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Di 24.07.2012
Autor: tc_engineer

Hallo!

Ich habe ein Optimierungsproblem der Form

$min\ [mm] ||x||_{l_1}$ [/mm]
$s.t.\ [mm] ||Ax-b||_{l_2}<\epsilon$ [/mm]

Mein Optimierungssolver in Matlab nimmt Problemstellungen der Form

$min\ [mm] ||x||_{l_1}$ [/mm]
$s.t.\ [mm] ||b-Ax||_{l_2}<\epsilon$ [/mm]

entgegen. Vom Ausgangsproblem $Ax=b$ her, welches gelöst werden soll, ist mir nicht klar, ob die Beschreibungen das gleiche ausdrücken (also zum gleichen Ergebnis kommen), da die Differenz, wenn anschließend mittels Norm der Betrag usw. gebildet wird, ja nicht mehr zwangsläufig gleich ist.

Außerdem kann ich es dem Solver so nicht vorsetzen, da der b und A als Parameter nimmt und die zweite Problemstellung anwendet. Gibt es einen Weg, das geeignet umzuformulieren, damit der Solver es schluckt?

Viele Grüße
tc_engineer

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
LP Optimierung umformulieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 24.07.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> ist mir nicht klar, ob die Beschreibungen das
> gleiche ausdrücken (also zum gleichen Ergebnis kommen), da
> die Differenz, wenn anschließend mittels Norm der Betrag
> usw. gebildet wird, ja nicht mehr zwangsläufig gleich ist.

Ganz unabhängig von deinem Problem gilt für eine Norm [mm] \|\cdot\|:V\to\IR [/mm]

   [mm] \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|, \lambda\in\IK [/mm] und [mm] $x\in [/mm] V$.

Hierbei ist V der normierte Raum über dem Grundkörper [mm] \IK. [/mm]

Was bedeutet das für deine Fragestellung?

LG

Bezug
                
Bezug
LP Optimierung umformulieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Di 24.07.2012
Autor: tc_engineer

Ja, was bedeutet das für meine Fragestellung? Sag du es mir, ich sehe keinen Zusammenhang ;-).

Bezug
                        
Bezug
LP Optimierung umformulieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:48 Mi 25.07.2012
Autor: kamaleonti


> Ja, was bedeutet das für meine Fragestellung? Sag du es
> mir, ich sehe keinen Zusammenhang ;-).

Nicht den geringsten?

Du hast eine Norm und dein Frage lautet doch übertragen, ob

     [mm] \|Ax-b\|_{l_2}=\|b-Ax\|_{l_2} [/mm]

gilt. Nun streng dein Hirn mal an;-)

LG

Bezug
                                
Bezug
LP Optimierung umformulieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mi 25.07.2012
Autor: tc_engineer

Hmm, Hirn anstrengen, na mal sehen, sowas kann schief gehen ;-).

Wenn ich [mm] $\lambda=-1$ [/mm] nehme, könnte ich mittels deiner Regel $||Ax-b||$ evtl. umformen.

$|-1|\ ||Ax-b||=|-1|\ ||b-Ax||$
$||-Ax+b||=|-1|\ ||b-Ax||$
$||b-Ax||=1\ ||b-Ax||$

Die Richtung vielleicht?

Bin in der Beziehung eher Anwender und will ein Optimierungsproblem lösen, ohne mich zu sehr mit den mathematischen Frameworks dahinter rumzuschlagen.

Bezug
                                        
Bezug
LP Optimierung umformulieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mi 25.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo tc_engineer,


> Hmm, Hirn anstrengen, na mal sehen, sowas kann schief gehen
> ;-).
>  
> Wenn ich [mm]\lambda=-1[/mm] nehme, [ok] könnte ich mittels deiner Regel
> [mm]||Ax-b||[/mm] evtl. umformen.
>  
> [mm]|-1|\ ||Ax-b||=|-1|\ ||b-Ax||[/mm]
>  [mm]||-Ax+b||=|-1|\ ||b-Ax||[/mm]
>  
> [mm]||b-Ax||=1\ ||b-Ax||[/mm]
>  
> Die Richtung vielleicht?

So in der Art, es sollte aber deutlich dastehen, dass [mm]||b-Ax||=||Ax-b||[/mm]

Geradeheraus als Vorschlag so:

[mm]||b-Ax||=||(-1)\cdot{}(Ax-b)||=|-1|\cdot{}||Ax-b||=||Ax-b||[/mm]

>  
> Bin in der Beziehung eher Anwender und will ein
> Optimierungsproblem lösen, ohne mich zu sehr mit den
> mathematischen Frameworks dahinter rumzuschlagen.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
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LP Optimierung umformulieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Mi 25.07.2012
Autor: tc_engineer

Gut, danke euch.

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