www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Ganzrationale Funktionen" - Kurvendiskussionen
Kurvendiskussionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvendiskussionen: Kurvenschar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mo 04.06.2012
Autor: fackelschein

Aufgabe
Führen sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a} [/mm] durch.

a) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] x³ - ax
b) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] -x³ + 2ax²
c) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) a}= [/mm] a²x³ + 6ax² + 9x

Allgemeine Kurvendiskussionen sind für mich kein Problem, jedoch verwirrt mich die Variable a - mir fällt es schwer für sie 'Bedingungen' zu formulieren.

a) Meine Ableitungen habe ich bereits formuliert, erster Ansatz für die Nullstellen wäre folgender:

0 = x * (x² - a)
-> x(1) = 0

0 = x² - a
[mm] +-\wurzel{a} [/mm] = x
-> x(2) = [mm] +\wurzel{a} [/mm]  x(3) = [mm] -\wurzel{a} [/mm]

Wäre dies als Angabe für die Nullstellen ausreichend?
Meine Extremstellen lauten folgendermaßen:

x(1) = [mm] +\wurzel{a/3} [/mm] x(2) = [mm] -\wurzel{a/3} [/mm]

-> Wie wären jedoch die dazugehörigen y-Werte?

Wendepunkt wäre (0|0), wie bestimme ich diesbezüglich jedoch das Krümmungsverhalten?

b) Ähnlicher Stand

c) Hier scheitere ich bereits beim Berechnen der Nullstellen, denn um die pq-Formel anwenden zu können muss ich die komplette Gleichung durch a² teilen, oder?

Ich hoffe ihr könnt mir meine Fragen beantworten und mir einen Ansatz bzgl. c) geben! Vielen Dank (:

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kurvendiskussionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Mo 04.06.2012
Autor: fackelschein

Mir ist ein Missgeschick beim Eingeben der Aufgabenstellung unterlaufen, muss natürlich alles f(x) heißen.

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 04.06.2012
Autor: MathePower

Hallo fackelschein,


> Führen sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}[/mm] durch.
>
> a) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] x³ - ax
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] -x³ + 2ax²
>  c) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) a}=[/mm] a²x³ + 6ax² + 9x
>  Allgemeine Kurvendiskussionen sind für mich kein Problem,
> jedoch verwirrt mich die Variable a - mir fällt es schwer
> für sie 'Bedingungen' zu formulieren.
>  
> a) Meine Ableitungen habe ich bereits formuliert, erster
> Ansatz für die Nullstellen wäre folgender:
>  
> 0 = x * (x² - a)
>  -> x(1) = 0

>  
> 0 = x² - a
>  [mm]+-\wurzel{a}[/mm] = x
> -> x(2) = [mm]+\wurzel{a}[/mm]  x(3) = [mm]-\wurzel{a}[/mm]
>  
> Wäre dies als Angabe für die Nullstellen ausreichend?


Ja, aber nur für den Fall, daß [mm]a \ge 0[/mm].

Sofern an a keine Bedingungen gestellt worden sind,
ist der Fall a < 0 noch zu behandeln.


>  Meine Extremstellen lauten folgendermaßen:
>  
> x(1) = [mm]+\wurzel{a/3}[/mm] x(2) = [mm]-\wurzel{a/3}[/mm]

>


Das sind die Extremstellen für den Fall [mm]a \ge 0[/mm].
  

> -> Wie wären jedoch die dazugehörigen y-Werte?
>


Einsetzen in die Funktionsgleichung.


> Wendepunkt wäre (0|0), wie bestimme ich diesbezüglich
> jedoch das Krümmungsverhalten?
>  


Das Krümungsverhalten ändert sich nur an den Wendepunkten.


> b) Ähnlicher Stand
>  
> c) Hier scheitere ich bereits beim Berechnen der
> Nullstellen, denn um die pq-Formel anwenden zu können muss
> ich die komplette Gleichung durch a² teilen, oder?

>


Ja.


> Ich hoffe ihr könnt mir meine Fragen beantworten und mir
> einen Ansatz bzgl. c) geben! Vielen Dank (:
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mo 04.06.2012
Autor: fackelschein

Erst einmal vielen Dank.
Bezüglich c)

Die Funktion lautet f(x) = a²x³ + 6ax² + 9x
1. Abl.: f`(x) = 3a²x² + 12ax + 9
2. Abl.: f``(x) = 6a²x + 12a

Nullstellen: f(x) = 0 ---- 0 = a²x³ + 6ax² + 9x  | : (a²)
                                     0 = x³ + 6x²/a + 9x/a² <-- Stimmt das? Wie würde dann meine pq-Formel 'aussehen'? Entschuldigung, falls ich derzeit blödsinnige Fragen stelle, aber ich bin etwas... verzweifelt.





Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussionen: erst ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mo 04.06.2012
Autor: Loddar

Hallo fackelschein!


> Die Funktion lautet f(x) = a²x³ + 6ax² + 9x
>  1. Abl.: f'(x) = 3a²x² + 12ax + 9
>  2. Abl.: f''(x) = 6a²x + 12a

[ok]


> Nullstellen: f(x) = 0 ---- 0 = a²x³ + 6ax² + 9x  | : (a²)
>                                       0 = x³ + 6x²/a + 9x/a²

[ok]

> Wie würde dann meine pq-Formel 'aussehen'?

Die [PQFormel|p/q-Formel]] ist nur anwendbar auf quadratische Gleichungen (also höchste Potenz [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] ).

Aber Du kannst hier ebensolche quadratische Gleichung erhalten, indem Du zunächst $x_$ ausklammerst. Damit hast Du dann auch gleich Deine erste Nullstelle.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mo 04.06.2012
Autor: fackelschein

Vielen Dank, ist mir (wiedermal) nicht aufgefallen.

Meine Ergebnisse wären dann:
x(1) = 0
x(2) = 24x/a - 3/a
x(3) = -48x/a + 3/a

Stimmt dies soweit?

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussionen: richtige p/q-Formel ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mo 04.06.2012
Autor: Endorphin


> Meine Ergebnisse wären dann:

>

>  x(2) = 24x/a - 3/a
>  x(3) = -48x/a + 3/a
>  
> Stimmt dies soweit?

Hallo Fackelschein,

du willst ja nur noch a als unbekannten Parameter in deiner Lösung haben, daher darf x nicht mehr rechts in deiner Gleichung auftauchen.

f(x) = a²x³ + 6ax² + 9x =0             | x ausklammern

<=> x = 0   [mm] \vee [/mm]   a²x² + 6ax +9 = 0      | :a²

<=> x² + [mm] \bruch{6}{a} [/mm] x + [mm] \bruch{9}{a^2} [/mm] = 0

Dies ist der Ausgangspunkt für deine p/q-Formel:

x = [mm] -\bruch{\bruch{6}{a}}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{\bruch{6}{a}}{2})^2 - \bruch{9}{a^2}} [/mm]


Ein anderer Ansatz wäre die erste binomische Formel:
      [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm]  =  [mm] (a+b)^2 [/mm]

=> [mm] a^2x^2 [/mm] + 6ax +9 =  ( .... [mm] )^2 [/mm]
versuch deine Gleichung nach obigem Rezept umzuformen und zieh einfach die Wurzel ;)

Jetzt bist du wieder dran. :)

Denk dran: a ist nur ein Parameter => behandle ihn wie eine Zahl (wie du es bei den Ableitungen ja schon richtig getan hast).


Bezug
                                                
Bezug
Kurvendiskussionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mo 04.06.2012
Autor: fackelschein

Ihr dürft euch eine Glühbirne über meinem Haupt vorstellen.
Vielen Dank, ich Dummerchen hab das x von p mit in die Formel gezogen.

Noch eine letzte Frage:
Wie gehe ich von, wenn es sich um Definitionen bzgl. Hoch- und Tiefpunkt bzw. Krümmung dreht? Ich habe ja keine 'positiven' bzw. 'negativen' Werte.

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvendiskussionen: Maxima/Minima/Wendepunkte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mo 04.06.2012
Autor: Endorphin

Hallo nochmal :)

Hmm, ich weiß jetzt nicht ob ich dich richtig verstanden habe aber bei den Hoch-, Tief- und Wendepunkten gehst du ja genauso vor wie bei den Nullstellen - bloß mit den Ableitungen.

Hoch-/Tiefpunkte:
N.B.:  f' (x) = 0   =>   x = ... (Dieses Ergebnis in die 2. Abl. einsetzen)

H.B.: f'' (x) < 0   =>   Hochpunkt
      f'' (x) > 0   =>   Tiefpunkt
      f'' (x) = 0   =>   Pech ;) Du musst den Vorzeichenwechsel überprüfen.

Die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion f (x) einsetzen und du erhälst die y-Koordinate. Diese darf nicht nur, sie muss ja sogar von a abhängen (also a ist in der y-Koordinate enthalten).

Das gleiche bei den Wendepunkten bloß eine Ableitung tiefer.

War das deine Frage? :)

EDIT:
Halt, ich glaub jetzt hab ich dich verstanden! ;)

Nein du hast keine konkreten Werte für deine Entscheidung zum Hoch- oder Tiefpunkt.
An dieser Stelle hast du dann jeweils 3 Möglichkeiten, die du alle dann angeben musst:

f' (x) = 0 liefert dir ja (wahrscheinlich) 2 Lösungen, in welchen a jeweils enthalten ist. Das heißt dein Ergebnis ändert sich in Abhängigkeit von a.

Die drei Möglichkeiten, die du dann nochmal angeben musst sind
a<0 , a=0 , a>0.
Was passiert mit deinen Ergebnissen für die drei Möglichkeiten? Sie ändern evtl. ihr Vorzeichen.

Also z.B.:
f'' [mm] (x_{1}) [/mm] < 0 für a < 0
        > 0 für a > 0

f'' [mm] (x_{2}) [/mm] < 0 für a < 0
        > 0 für a > 0

Soweit klar ? :)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Ganzrationale Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]