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Kurve rektifizierbar!?!?: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:46 Mi 12.05.2004
Autor: rossi

Guten Abend ;)

also wär recht dankbar, wenn mir jemand nen kleinen Tipp gibt, wie man da weiterkommt....

Untersuche ob die Kurve f:[0,1] --> [mm] \IR\ ^2[/mm]

[mm] t ---> \left\{\begin{matrix} (t, t sin(PI/t)) & { fuer } & t \ne 0 \\ (0,0 ) & { fuer } & t=0 \end{matrix}\right. [/mm]

rektifizierbar ist!

Naja rektivizierbar heißt ja, dass die Ableitung stetig ist... aber kann ich da einfach die beiden einzelnen Zeile ableiten und dann auf stetigkeit überprüfen - irgendwie nicht - oder?!

Also wär nett, wenn da wer weiter wüsste....

Gruß
Rossi

        
Bezug
Kurve rektifizierbar!?!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

nein, eine Kurve [mm]f:[0,1] \to \IR^2[/mm] heißt rektifizierbar, wenn es eine Konstante [mm]0 \le \lambda < \infty[/mm] gibt, so dass für alle Zerlegungen

[mm]{\cal Z}: 0 = t_0 < t_1< \ldots < t_n = 1[/mm]

des Intervalls [mm][0,1][/mm] gilt:

[mm]l({\cal Z};f) \le \lambda[/mm],

wobei

[mm]l({\cal Z};f) := \sum_{k=1}^n \Vert f(t_k) - f(t_{k-1}) \Vert_2[/mm]

die Länge des entsprechende Polygonzuges ist.

Man kann zeigen, dass [mm]f[/mm] genau dann rektifizierbar ist, wenn die Koordinatenabbildungen von beschränkter Variation sind.

Die zweite Koordinatenabbildung:

[mm] f_2(t) =t \sin(\frac{\pi}{t})[/mm]

ist aber nicht vonr beschränkter Variation.

Überlege dir das bitte!

Finde also eine Folge von Zerlegungen

[mm]{\cal Z}_n:\, 0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = 1[/mm],

für die mit

[mm]\mbox{Var}({\cal Z}_n,f_2) ) = \sum_{i=1}^n |f_2(t_{i}) - f_2(t_{i-1})|[/mm]

gilt:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} \mbox{Var}({\cal Z}_n,f_2) = + \infty[/mm].

Das ist leicht: Überlege dir, wann [mm]f_2[/mm] gleich [mm]1[/mm] und wann gleich [mm]0[/mm] ist!

Melde dich wieder mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen...

Liebe Grüße
Julius



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Kurve rektifizierbar!?!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 12.05.2004
Autor: rossi

mmm irgendwie versteh ich des noch nicht so ganz...
wie soll ich da ne Folge reinbasteln!?

Hab mir jetzt die Funktion zeichnen lassen - aber so recht weiß ich nicht, wie ich des machen soll ...

gruß zurück....

Rossi

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Kurve rektifizierbar!?!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo rossi,

versuche es mal mit der Folge der Zerlegungen:

[mm]0 < \frac{1}{n + \frac{1}{2}} < \frac{1}{n} < \frac{1}{(n-1) + \frac{1}{2}} < \ldots < \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} < 1[/mm].

Wie groß ist dann für diese Zerlegung die Variation?

Und jetzt betrachte den Ausdruck für [mm]n \to \infty[/mm].

Na? Na also!

Bei Fragen: Matheraum! :-)

Liebe Grüße
Julius



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Kurve rektifizierbar!?!?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 Mi 12.05.2004
Autor: rossi

DINGdooooooooooooooooooooong :-)

jaaaa ... es ist oben angekommen .. ich habs auch mit genau der gemacht, aber erst wo ichs etz so gesehen hab mit "kleiner" 1/n und "größer" also 1/n ist es mir aufgefallen!!!

DANKE!!!!

schönen Abend noch....

Rossi

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