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Forum "stochastische Prozesse" - Korrelation Zufallsvariablen
Korrelation Zufallsvariablen < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Korrelation Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Fr 24.06.2016
Autor: Hejo

Aufgabe
Es sei [mm] (X_t)_{t \in\IN} [/mm] ein Prozess unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen  mit [mm] X_t \sim [/mm] N(0,1). Durch [mm] D_t=X_t-X_{t-1}, X_0=0 [/mm] ist ein neuer Prozess [mm] (D_t)_{t \in\IN} [/mm] definiert.

Berechnen Sie die [mm] Corr[D_t,D_{t-1}] [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 2

[mm] V[D_t]= \begin{cases} 1, & \mbox{t=1} \\ 2, & \mbox{t >= 2} \end{cases} [/mm]

[mm] Corr[D_t,D_{t-1}]=\bruch{Cov[D_t,D_{t-1}]}{(V[D_t]V[D_{t+1}])^{0,5}}=\bruch{Cov[D_t,D_{t-1}]}{2}=\bruch{1}{2}(E[D_tD_{t+1}]-E[D_t]E[D_{t+1}])=\bruch{1}{2}(E[D_tD_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2-\bruch{1}{2}D^2_t-\bruch{1}{2}D^2_{t+1}]= [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2]-\bruch{1}{2}E[D^2_t]-\bruch{1}{2}E[D^2_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}4-\bruch{1}{2}2-\bruch{1}{2}2)=0 [/mm]

Irgendwo muss ich einen Fehler machen. Eigentlich müsste [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] rauskommen

        
Bezug
Korrelation Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Fr 24.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2]-\bruch{1}{2}E[D^2_t]-\bruch{1}{2}E[D^2_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}4-\bruch{1}{2}2-\bruch{1}{2}2)=0[/mm]

Deine 4 stimmt nicht, da kommt eine 2 raus.
Deine Rechnung ist aber auch unnötig kompliziert, wieso formst du so grandios schräg um?

Du kannst doch [mm] $E[D_tD_{t+1}]$ [/mm] direkt ausrechnen, exakt so, wie du es vermutlich auch mit [mm] $E\left[(D_t + D_{t+1})^2\right]$ [/mm] gemacht hast.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Korrelation Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Sa 25.06.2016
Autor: Hejo

Zur 4: ich dachte die Varianzen addieren sich bei normalverteilten Zufallsvariablen.

Wie rechnet man [mm] E[D_t,D_{t+1}] [/mm] aus?

Bezug
                        
Bezug
Korrelation Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Sa 25.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zur 4: ich dachte die Varianzen addieren sich bei normalverteilten Zufallsvariablen.

Nein, die Varianzen addieren sich bei unabhängigen Zufallsvariablen. Da steht ja aber nicht die Varianz…

> Wie rechnet man [mm]E[D_t,D_{t+1}][/mm] aus?

Erstmal: Da steht kein Komma. Dann: Definition von [mm] $D_t$ [/mm] verwenden, und dann einfach die Linearität des Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die du kennst…

Gruß,
Gono



Bezug
                                
Bezug
Korrelation Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Sa 25.06.2016
Autor: Hejo


> Nein, die Varianzen addieren sich bei unabhängigen
> Zufallsvariablen. Da steht ja aber nicht die Varianz…

aber da steht doch das zweite nicht zentrale Moment, dass der Varianz entspricht, da [mm] \mu [/mm] = 0? Woher weiß man, dass das genau 2 ist?

> > Wie rechnet man [mm]E[D_tD_{t+1}][/mm] aus?
>
>  Definition von [mm]D_t[/mm]
> verwenden, und dann einfach die Linearität des
> Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die
> du kennst…

Also [mm] E[D_tD_{t+1}]=E[(X_t-X_{t-1})(X_{t+1}-X_{t})] [/mm] usw.



Bezug
                                        
Bezug
Korrelation Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Sa 25.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> aber da steht doch das zweite nicht zentrale Moment, dass
> der Varianz entspricht, da [mm]\mu[/mm] = 0?

Da steht aber das zweite Moment einer Summe! Das ist i.A. nicht gleich der Summe der zweiten Momente!


> Woher weiß man, dass das genau 2 ist?

Indem man es ausrechnet! Definition einsetzen!

> > > Wie rechnet man [mm]E[D_tD_{t+1}][/mm] aus?
> >
> >  Definition von [mm]D_t[/mm]

> > verwenden, und dann einfach die Linearität des
> > Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die
> > du kennst…
>  
> Also [mm]E[D_tD_{t+1}]=E[(X_t-X_{t-1})(X_{t+1}-X_{t})][/mm] usw.

Ja.
Und glücklicherweise sind die [mm] X_t [/mm] ja alle unabhängig, sonst könnte man da nicht viel ausrechnen…

Gruß,
Gono

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