Konvergenz kompl. Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Physis |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\sum_{n=1}^\infty \bruch{z^n}{n}$. [/mm] Diese Reihe konvergiert für $|z| < 1$ gegen [mm] $-\log(1-z)$. [/mm] Für welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem Rand des Konvergenzradius konvergiert die Potenzreihe? |
Hallo alle zusammen,
ich weiß leider nicht, wie ich hier vorgehen soll. Intuitiv denke ich, dass die Reihe für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|z|\le [/mm] 1$ konvergiert außer für $z = 1$, weil [mm] $\sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{n}$ [/mm] divergiert. Wie kann ich das beweisen?
Vielen Dank im Voraus :)
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Hallo,
> Sei [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{z^n}{n}[/mm]. Diese Reihe
> konvergiert für [mm]|z| < 1[/mm] gegen [mm]-\log(1-z)[/mm]. Für welche [mm]z \in \IC[/mm]
> auf dem Rand des Konvergenzradius konvergiert die
> Potenzreihe?
> Hallo alle zusammen,
>
> ich weiß leider nicht, wie ich hier vorgehen soll.
> Intuitiv denke ich, dass die Reihe für alle [mm]z\in\IC[/mm] mit
> [mm]|z|\le 1[/mm] konvergiert außer für [mm]z = 1[/mm], weil
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{n}[/mm] divergiert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wie kann ich das
> beweisen?
Ist etwas umfänglich.
Vllt kannst du hier was saugen:
https://www.math.uni-bielefeld.de/~dotten/files/funktionentheorie/LoesFunkTheoIBlatt09.pdf
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> Vielen Dank im Voraus :)
Gruß
schachuziupus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 15.12.2015 | | Autor: | Physis |
Hallo,
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> Vllt kannst du hier was saugen:
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> https://www.math.uni-bielefeld.de/~dotten/files/funktionentheorie/LoesFunkTheoIBlatt09.pdf
>
>
danke für den Link, allerdings wird in der Lösung eine Formel benutzt, die ich nicht so ohne Weiteres übernehmen kann.
Wir haben noch den Hinweis bekommen, dass wir zunächst die Partialsummen [mm] $s_k(z)$ [/mm] der Reihe betrachten sollen und anschließend die Summen [mm] $g_k(z) [/mm] := [mm] (1-z)s_k(z)$. [/mm] Dann sollen wir über die Reihe (also $g(z) = [mm] \limes_{k\to\infty} (1-z)\sum_{n=1}^k \frac{z^n}{n}$ [/mm] ) begründen, für welche $z [mm] \in\IC$ [/mm] die ursprüngliche Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}$ [/mm] konvergiert.
Nur leider kann ich mit diesem Hinweis nichts anfangen. Worauf wird hier abgezielt und wie beweise ich hiermit meine Intuition?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Mi 16.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Vllt kannst du hier was saugen:
> >
> >
> https://www.math.uni-bielefeld.de/~dotten/files/funktionentheorie/LoesFunkTheoIBlatt09.pdf
> >
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> danke für den Link, allerdings wird in der Lösung eine
> Formel benutzt, die ich nicht so ohne Weiteres übernehmen
> kann.
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> Wir haben noch den Hinweis bekommen, dass wir zunächst die
> Partialsummen [mm]s_k(z)[/mm] der Reihe betrachten sollen und
> anschließend die Summen [mm]g_k(z) := (1-z)s_k(z)[/mm]. Dann sollen
> wir über die Reihe (also [mm]g(z) = \limes_{k\to\infty} (1-z)\sum_{n=1}^k \frac{z^n}{n}[/mm]
> ) begründen, für welche [mm]z \in\IC[/mm] die ursprüngliche Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}[/mm] konvergiert.
>
> Nur leider kann ich mit diesem Hinweis nichts anfangen.
> Worauf wird hier abgezielt und wie beweise ich hiermit
> meine Intuition?
>
>
> Vielen Dank im Voraus.
Das ist mal wieder ein typischer Fall. Es gibt 2 Möglichkeiten:
1. ich lamentiere "ich kann mit dem Hinweis nix anfangen"
oder
2. ich leg einfach mal los und mache das, was mir der Hinweis rät.
Ich bevorzuge 2. und mach das mal( die Feinheiten darf der Fragesteller erledigen):
(1) Man glaubt es kaum, aber ich rechne [mm] $(1-z)s_k(z)=(1-z)\sum_{n=1}^k \frac{z^n}{n} [/mm] $ einfach mal aus und komme auf
[mm] (1-z)s_k(z)=z-\bruch{z^{k+1}}{k}-\summe_{j=2}^{k}\bruch{z^j}{j(j-1)}.
[/mm]
(2) Nun sagt mir der Hinweis ich soll [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] in Betracht ziehen. Aha !
(2.1) Ich sehe: [mm] \bruch{z^{k+1}}{k} \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty) [/mm] für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1.
(2.2) Ich erinnere mich an Analysis I, da wurde gezeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{j=2}^{\infty}\bruch{1}{j(j-1)} [/mm] konvergiert.
(2.3) Wenn ich mich daran erinnere, dass das Majorantenkriterium wichtig ist, fällt mir ein
[mm] \summe_{j=2}^{\infty}\bruch{z^j}{j(j-1)} [/mm] konvergiert für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1.
(3) Bingo ! Jetzt hab ich: [mm] ((1-z)s_k(z)) [/mm] konvergiert für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1.
Das hat zur Folge: [mm] (s_k(z)) [/mm] konvergiert für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1 und z [mm] \ne [/mm] 1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Mi 16.12.2015 | | Autor: | Physis |
> Das ist mal wieder ein typischer Fall. Es gibt 2
> Möglichkeiten:
>
> 1. ich lamentiere "ich kann mit dem Hinweis nix anfangen"
>
Danke für den unnötigen Kommentar :) Ich habe mit drei anderen Leuten ca. drei Tage an dieser Aufgabe gesessen (der Rest der Zeit ging leider drauf für andere nutzlose Dinge wie andere Vorlesungen und Schlaf) und alle Versuche sind im Sande verlaufen, trotz Hinweis. Zwischen "nach langer, erfolgloser Suche nach der Lösung um Hilfe bitten" und "lamentieren, ohne es zu versuchen" gibt es einen Unterschied.
> oder
>
> 2. ich leg einfach mal los und mache das, was mir der
> Hinweis rät.
Wie schön es doch wäre, wäre das Leben so einfach, wie du es dir machst! Wir haben "einfach" mal losgelegt und den Hinweis befolgt (s.o.). Woran liegt es, dass wir nicht drauf gekommen sind? Ich finde es schade, dass Leuten in deinem Alter und mit deiner Forenpräsenz scheinbar immer noch die Empathie fehlt, um zu verstehen, dass vier Wochen Analysis vs. 30 Jahre Mathematik nicht zu vergleichen sind und Anfänger sich an die Denkweise gewöhnen müssen. Zum Glück versteht unser Dozent das besser.
>
> Ich bevorzuge 2. und mach das mal( die Feinheiten darf der
> Fragesteller erledigen):
Danke sehr :)
>
> (1) Man glaubt es kaum, aber ich rechne
> [mm](1-z)s_k(z)=(1-z)\sum_{n=1}^k \frac{z^n}{n}[/mm] einfach mal aus
> und komme auf
>
> [mm](1-z)s_k(z)=z-\bruch{z^{k+1}}{k}-\summe_{j=2}^{k}\bruch{z^j}{j(j-1)}.[/mm]
>
Das ist ja mal endlich ein konstruktiver Hinweis. Danke dafür. Mehr brauchte es gar nicht.
> (2) Nun sagt mir der Hinweis ich soll
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] in Betracht ziehen. Aha !
>
> (2.1) Ich sehe: [mm]\bruch{z^{k+1}}{k} \to[/mm] 0 (k [mm]\to \infty)[/mm]
> für jedes [mm]z \in \IC[/mm] mit |z| [mm]\le[/mm] 1.
>
> (2.2) Ich erinnere mich an Analysis I, da wurde gezeigt,
> dass die Reihe [mm]\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{1}{j(j-1)}[/mm]
> konvergiert.
>
> (2.3) Wenn ich mich daran erinnere, dass das
> Majorantenkriterium wichtig ist, fällt mir ein
>
> [mm]\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{z^j}{j(j-1)}[/mm] konvergiert für
> jedes [mm]z \in \IC[/mm] mit |z| [mm]\le[/mm] 1.
>
>
> (3) Bingo ! Jetzt hab ich: [mm]((1-z)s_k(z))[/mm] konvergiert für
> jedes [mm]z \in \IC[/mm] mit |z| [mm]\le[/mm] 1.
>
> Das hat zur Folge: [mm](s_k(z))[/mm] konvergiert für jedes [mm]z \in \IC[/mm]
> mit |z| [mm]\le[/mm] 1 und z [mm]\ne[/mm] 1.
Dein Beitrag hat sehr geholfen (und das ist nicht sarkastisch gemeint), aber die Gleichsetzung von Lamentieren und Hilfesuchen nach langer Überlegung ohne Erfolg (und ja, das gibt es tatsächlich, wenn man in Betracht zieht, seit wann wir mit der Materie konfrontiert sind!), ist komplett kontraproduktiv und verstärkt nur noch den Eindruck, dass man auf Foren wie diesen von Erfahreneren, die eigentlich konstruktiv helfen (können) sollten, nur herablassend behandelt wird. An meiner Poststatistik siehst du sicherlich, dass ich punktuell Schwierigkeiten habe und Aufgaben grundsätzlich erst lange selber bearbeite, bevor ich mich hierhin wage, sonst würde ich öfter posten. Scher bitte nicht gleich alles über einen Kamm, das macht die Welt sehr schwarz-weiß und dich mit Sicherheit nur aggressiver.
Und jetzt hör ich auch auf damit, da es eh nichts ändern wird.
PS: Du kannst dir eine Erwiderung sparen, da ich diese ohnehin bewusst nicht lesen werde.
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