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Konvergenz einer Folge: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Mo 07.05.2012
Autor: rolo4

Aufgabe
Für [mm] n\in \IN [/mm] x>-1 definieren wir
[mm] f_n(x)= (1+x^{n})^{1/n} [/mm] und f(x)=max(1,x)

Zeigen Sie:
a) Für ein beliebiges [mm] \beta>0 [/mm] konvergiert [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f bezüglich [mm] x\in[0,\beta] [/mm]
b)Für [mm] x\in[0,\infty] [/mm] existiert punktweise der Grenzwert g(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow}fn'(x) [/mm]

Für welche Intervalle [mm] I=[\alpha,\beta] \subset [0,\infty] [/mm] ist die Konvergenz gleichmäßig? Was können Sie über die Grenzfunktion f auf diesen Intervallen aussagen?


Meine Idee für a:

Für die gleichmäßige Konvergenz muss ja gelten: [mm] ||f_n-f||=0 \gdw ||(1(+x^{n})^{1/n}- [/mm] max(1,x)||= 0  [mm] \gdw ||((1+x^{n})^{1/n}||- [/mm] max(1,x)= 0

Außerdem gilt ja: Für [mm] f_n\in(-1,\infty) \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n=\infty [/mm]

[mm] f_n [/mm] besitzt also als globales Maximum nach rechts [mm] \alpha [/mm] und nach links 1
dann wird ja sup| [mm] f_n(x) [/mm] | : [mm] \alpha [/mm] für x>1 und 1 für [mm] x\le1 [/mm]

Ist der Ansatz so richtig? Und habt ihr eine Idee wie ich an b) herangehen kann? Vielen Dank

        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:38 Di 08.05.2012
Autor: leduart

Hallo
> Für [mm]n\in \IN[/mm] x>-1 definieren wir
>  [mm]f_n(x)= (1+x^{n})^{1/n}[/mm] und f(x)=max(1,x)
>  
> Zeigen Sie:
> a) Für ein beliebiges [mm]\beta>0[/mm] konvergiert [mm]f_n[/mm]
> gleichmäßig gegen f bezüglich [mm]x\in[0,\beta][/mm]
>  b)Für [mm]x\in[0,\infty][/mm] existiert punktweise der Grenzwert
> g(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow}fn'(x)[/mm]
>  
> Für welche Intervalle [mm]I=[\alpha,\beta] \subset [0,\infty][/mm]
> ist die Konvergenz gleichmäßig? Was können Sie über die
> Grenzfunktion f auf diesen Intervallen aussagen?
>  
> Meine Idee für a:
>  
> Für die gleichmäßige Konvergenz muss ja gelten:
> [mm]||f_n-f||=0 \gdw ||(1(+x^{n})^{1/n}-[/mm] max(1,x)||= 0  [mm]\gdw ||((1+x^{n})^{1/n}||-[/mm]
> max(1,x)= 0

ja, das musst du zeigen, aber wohl abhaengig von x die 1 oder x  

> Außerdem gilt ja: Für [mm]f_n\in(-1,\infty) \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1[/mm]

da verstehe ich ueberhaupt nicht was du meinst.
was soll [mm] f_n\in(-1,\infty) [/mm]  bedeuten, und was dann [mm] \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1[/mm] [/mm] ?  n kann doch nicht gegen -1 laufen

> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n=\infty[/mm]

und auch das verstehe ich nicht, fuer welchr x soll das gelten?

> [mm]f_n[/mm] besitzt also als globales Maximum nach rechts [mm]\alpha[/mm]

woher kommt das [mm] \alpha [/mm] ploetzlich?

> und nach links 1

was meinst du mit globales max nach links und rechts?

>  dann wird ja sup| [mm]f_n(x)[/mm] | : [mm]\alpha[/mm] für x>1 und 1 für
> [mm]x\le1[/mm]

wo und wie hast du das gezeigt?

> Ist der Ansatz so richtig? Und habt ihr eine Idee wie ich
> an b) herangehen kann?

erstmal [mm] f_n [/mm] differenzieren, findest du ne Grenzfunktion?
Gruss leduart

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