www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Kettenbruch
Kettenbruch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kettenbruch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:36 Di 18.06.2019
Autor: questionpeter

Aufgabe
Seien [mm] x_1,x_2,...,x_n [/mm] Variablen. Mit [mm] \Delta(x_1,...,x_n) [/mm] bezeichnen wir die Determinante der nxn-Matrix

[mm] \pmat{ x_1 & 1&0&0&\ldots &0&0 \\ -1 & x_2&1 & 0&\ldots &0&0\\ 0&-1&x_3 & 1&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &x_{n-1}&1\\0 & 0&0&0&\ldots &-1&x_n } [/mm]

Beweisen Sie mit Induktion dass für alle [mm] n\ge [/mm] 2 der Kettenbruch [mm] [x_1,x_2,...,x_n] [/mm] gleich

[mm] \bruch{\Delta(x_1,...,x_n)}{\Delta(x_2,...,x_n)} [/mm] ist. Berechnen Sie mit Hilfe der Determinanten [mm] \Delta(x_1,...,x_n) [/mm] das Produkt der 2x2-Matrizen
[mm] \pmat{ x_1 & 1 \\ 1 & 0 }\pmat{ x_2 & 1 \\ 1 & 0 }\ldots\pmat{ x_n & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]

Hallo zusammen,

Beweis mit Induktion:

Induktionsanfang für n=2: [mm] [x_1,x_2]=x_1+\bruch{1}{x_2}=\bruch{x_1x_2+1}{x_2}=\bruch{\Delta(x_1,x_2)}{\Delta(x_2)} [/mm]

Induktionsbehauptung: Die Behautung gelte für ein beliebiges n

Induktionsschritt [mm] n\rightarrow [/mm] n+1

Ich habe die Matrix nun mit der LR Zerlegung zerlegt:

Also

[mm] L=\pmat{ 1& 0&0&0&\ldots &0&0 \\ l_2 & 1&0 & 0&\ldots &0&0\\ 0&l_3&1 & 0&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &1&0\\0 & 0&0&0&\ldots &l_n&1 } [/mm]

[mm] R=\pmat{ u_1&1&0&0&\ldots &0&0 \\ 0 & u_2&1 & 0&\ldots &0&0\\ 0&0&u_3 & 1&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &u_{n-1}&1\\0 & 0&0&0&\ldots &0&u_n } [/mm]

wobei, [mm] u_1=x_1,\;\; l_i=-\bruch{1}{u_{i-1}},\;\;\; u_i=x_i-l_i [/mm] für i=2,...,n+1

Also [mm] Det(A)=Det(LR)=Det(R)=\produkt_{i=1}^{n+1}u_i=x_1\produkt_{i=2}^{n+1}x_i+\bruch{1}{u_{i-1}}x_i\produkt_{i=2}^{n+1}[x_i,u_{i-1}] [/mm]

Ich komme leider nich weiter bzw wäre mein Ansatz soweit richtig? Danke schonmal im Voraus!

        
Bezug
Kettenbruch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 21.06.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Kettenbruch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:39 Mo 24.06.2019
Autor: HJKweseleit

Vielleicht ist es einfacher, die Determinante mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes darzustellen. Entwickle nach der letzten Spalte oder Zeile...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]