www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Kern und Bild
Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 So 19.02.2012
Autor: chara18

Hallo,
kann mir einer villeicht erklären was der UNTERSCHIED zwischen

1) Kern einer Matrix und Kern einer linearen Abbildung ist,
2) sowie Bild einer Matrix und einer linearen Abbildung.

3) Es wäre schön wenn ihr mir auch sagen könntet, wie ich jeweils bei den Aufgaben vorgehen muss.


Dankeschönn : )


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 19.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  kann mir einer villeicht erklären was der UNTERSCHIED
> zwischen
>  
> 1) Kern einer Matrix und Kern einer linearen Abbildung
> ist,
> 2) sowie Bild einer Matrix und einer linearen Abbildung.
>

Hallo,

wenn Du eine Matrix [mm] A\in K^{m\times n} [/mm] hast,

dann ist [mm] BildA:=\{Ax| x\in K^n}, [/mm]

und wenn f eine lineare Abbildung aus dem [mm] K^n [/mm] in den [mm] K^m [/mm] ist, ist [mm] Bildf:=\{f(x)|x\in K^n}. [/mm]

Wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dh. f(x)=Ax, denn ist Bildf=BildA.

Entsprechend für den Kern:

[mm] KernA=\{x\in K^n| Ax=0\}, [/mm]
[mm] Bildf=\{x\in K^n| f(x)=0\}, [/mm]

und wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dann ist KernA=Kernf.

> 3) Es wäre schön wenn ihr mir auch sagen könntet, wie
> ich jeweils bei den Aufgaben vorgehen muss.

Dann müßtest Du uns mal die Aufgaben verraten - und auch Deine Lösungsversuche dazu.

LG Angela

>
>
> Dankeschönn : )
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 So 19.02.2012
Autor: chara18

Hallo,

die Definitionen zum Kern und Bild habe ich mir schon angeschaut. Nur ich verstehe sie nicht. Könntest du das bitte etwas genauer erläutern.

Ich wollte nur wissen wie man allgemein bei solchen Aufgaben rangeht. Wenn man z.B. den Rang ausrechnen muss, sagt man ja auch erst mal in die Zeilenstufenform bringen.
Nach soetwas hatte ich gefragt :(


LG

Bezug
                        
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 So 19.02.2012
Autor: chara18

Jetzt habe ich verstanden, wie man den Kern und das Bild einer Matrix bestimmt. Beim Kern einer Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis und beim Bild die linear unabhängigen Spaltenvektoren.



1) Zur obigen Erklärung habe ich allerdings noch eine Frage. Beim Kern einer Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis. Was ist  eigentlich wenn ich ein inhomogenes GS gegeben habe? Wie bestimme ich dann den Kern??

2)Und wie verläuft das bei lineraren Abbildungen?


Bezug
                                
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 So 19.02.2012
Autor: moody


> Beim Kern einer Matrix ist die
> Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis

> homogenen LGS das Ergebnis. Was ist  eigentlich wenn ich
> ein inhomogenes GS gegeben habe? Wie bestimme ich dann den
> Kern??

Der Kern wird auch Nullraum genannt, er beinhaltet alle Lösungen [mm] \vec{x} [/mm] für die auf den Nullvektor abgebildet wird. Beantwortet das deine Frage?

Zum zweiten Teil, das hat Angela dir ja bereits geschrieben:

> und wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dann ist KernA=Kernf.

Ich mach die Frage oben mal zu.

lg moody

Bezug
                                        
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 So 19.02.2012
Autor: chara18

Hallo,
ich danke für die Antworten :) Ich habe gerade so oft Kern und Bild in unterschiedlichen Definitionen gesehen, weshalb ich verwirrt war.

Mittlerweile habe ich das mit Kern und Bild linearer ABb. und Matrizen verstanden.
Aber jetzt habe ich noch eine weitere Frage und zwar habe ich die Formel
dim=dim(kern)+dim(bild) gesehen.

Dim(bild)= gleich der Rang

und wie kommt man nun auf dim(kern)??


Entschuldigung für meine Unwissenheit

LG

Bezug
                                                
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 19.02.2012
Autor: moody

Du meinst die Dimensionsformel oder auch Rangsatz:

$dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = n, n = Spaltenanzahl$

Für eine 3x5 Matrix mit rg(A) = 3 ist die Dimension des Kerns gleich 2.

$dim(Kern(A)) + 3 = 5, n = Spaltenanzahl$

Auf der anderen Seite kannst du auch sagen die Dimension des Kerns ist gleich der Anzahl der freiwählbaren Parameter.

> Entschuldigung für meine Unwissenheit

Hier ist auch niemand allwissend :)


Bezug
                                                        
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 19.02.2012
Autor: chara18

Danke dieses Beispiel hat zum Verständnis geführt.

>  
> Auf der anderen Seite kannst du auch sagen die Dimension
> des Kerns ist gleich der Anzahl der freiwählbaren
> Parameter.
>  

Aber ich verstehe die Aussage mit dem  Parameter nicht.

Und gibt es auch einen anderen Weg. Dim(kern) zu berechnen.
Die Formel würde ich ja gerade dafür nutzen, um die Dimension auszurechnen und nicht gleich der Dimensionslösung zu setzen :)



Bezug
                                                                
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 So 19.02.2012
Autor: leduart

Hallo
du suchst die Menge der lin unabh Vektoren x, die Ax=0 [mm] x\in [/mm] V erfüllen.
die bilden den Kern, einen UV von V
Gruss leduart

Bezug
                                                                        
Bezug
Kern und Bild: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 So 19.02.2012
Autor: chara18

Hallo,
nach bisschen Überlegen habe ich jetzt alles verstanden. Ich danke Euch für die schnellen Rückantworten.

LGe
Nadin

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]