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Kern und Bild: Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Fr 30.01.2015
Autor: canyakan95

Aufgabe
Sei A = df. [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }. [/mm]  und [mm] \Delta [/mm] A : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die zugehörige lineare Abbildung , d.h : [mm] \Delta [/mm] A [mm] (\vec{x}) [/mm] = A * [mm] \vec{x} [/mm] .
geben sie kern und bild von [mm] \Delta [/mm] A an.

Hallo ,
ich schreibe nächste woche eine klausur und weis leider noch immer net wie ich bei so einer aufgabe vorgehen soll.
nach den lösungen ist der Kern [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und das Bild auch [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm]
mein lehrer meinte auch,dass das eig trivial ist , aber mir fällt es halt schwer.
hoffe ihr könnt mir sagen, was hier gerechnet wird und somit auf die zwei Erzeugendensysteme(Vektoren) gekommen sind.

Mfg

        
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Fr 30.01.2015
Autor: Fulla

Hallo canyakan95!

> Sei A = df. [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }.[/mm] und [mm]\Delta[/mm] A : [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]

Was hat das "df." zu bedeuten?

> die zugehörige lineare Abbildung , d.h : [mm]\Delta[/mm] A
> [mm](\vec{x})[/mm] = A * [mm]\vec{x}[/mm] .
> geben sie kern und bild von [mm]\Delta[/mm] A an.
> Hallo ,
> ich schreibe nächste woche eine klausur und weis leider
> noch immer net wie ich bei so einer aufgabe vorgehen soll.
> nach den lösungen ist der Kern [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und das
> Bild auch [mm]\vektor{1 \\ 0}.[/mm]
> mein lehrer meinte auch,dass
> das eig trivial ist , aber mir fällt es halt schwer.
> hoffe ihr könnt mir sagen, was hier gerechnet wird und
> somit auf die zwei Erzeugendensysteme(Vektoren) gekommen
> sind.

Mit "Kern" bezeichnet man die Vektoren v, die durch A auf den Nullvektor abgebildet werden, also für die gilt [mm]A\cdot v=\overrightarrow 0[/mm].

Hier: [mm]\pmat{0&1\\0&0}\cdot\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{0\\0}[/mm]
Dies ist der fall, wenn [mm]\pmat{v_2\\0}=\pmat{0\\0}[/mm], d.h. [mm]v_2=0[/mm] und [mm]v_1[/mm] beliebig. Das kann man z.B. so aufschreiben: [mm]\text{kern}(A)=\left\{\pmat{\lambda\\0}; \lambda\in\mathbb R\right\}[/mm]

Das "Bild" sind alle Vektoren v, auf die abgebildet wird, also die mit [mm]A\cdot w=v[/mm] für alle [mm]w\in\mathbb R^2[/mm].
Dazu rechnest du [mm]\pmat{0&1\\0&0}\cdot\pmat{w_1\\w_2}[/mm] aus. All diese Vektoren haben die Form [mm]\pmat{w_2\\0}[/mm] bzw. [mm]\pmat{\mu\\0}[/mm] mit [mm]\mu\in\mathbb R[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla
 

Bezug
                
Bezug
Kern und Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Fr 30.01.2015
Autor: canyakan95

Vielen dank für die hilfreiche antwort
Mfg

Bezug
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