www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Jordanbasis
Jordanbasis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Di 10.07.2012
Autor: Laura87

Aufgabe
Berechnen Sie die Jordanbasis für die Matrix

[mm] A=\pmat{ 2&2&-1&-1&-1&3\\0&2&0&1&0&0\\0&-2&3&0&1&-3\\1&1&1&2&0&0\\0&3&-1&-1&1&3\\0&3&0&-1&0&5} [/mm]

Hinweise: charPoly(A) = (t−2)5(t−5), minPoly(A) = charPoly(A). Der Vektor w = e1 ist in ker(A−5I [mm] )^5. [/mm] Eine Zeile von
(A−5I [mm] )^4 [/mm] ist gegeben durch (−1, 80,−1, 0, 0, 81). Betrachten Sie auch den Vektor v := (1, 0,−1, 0, 1, 1, [mm] )^T [/mm] .


Hallo,

ich behersche den Algorithmus  noch nicht so richtig und würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

Wir haben zwei Eigenwerte: [mm] t_1=2 [/mm] -> alg. Vielfachheit 5 und [mm] t_2=5 [/mm] -> alg. Vielf. 1

die JNF müsste also so aussehen:

[mm] \pmat{2&1&0&0&0&0\\0&2&1&0&0&0\\0&0&2&1&0&0\\0&0&0&2&1&0\\0&0&0&0&2&0\\0&0&0&0&0&5} [/mm]

Nun bestimmen wir eine Basis des verallg. Eigenraums zum Eigenwert 5:

[mm] ker(A-E)=\pmat{ -3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}=\IR \vektor{-1\\0\\1\\0\\-1\\-1}+ \IR \vektor{-1\\0\\-1\\0\\-1\\-1}+ \IR \vektor{1\\0\\-1\\0\\1\\-1}+\IR \vektor{-1\\0\\-1\\0\\1\\-1}+\IR \vektor{1\\0\\1\\0\\-1\\1} [/mm]

ich glaube hier hab ich was falsch :-S

Lg



        
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Di 10.07.2012
Autor: wieschoo


> ich glaube hier hab ich was falsch :-S

Definitiv.

Du musst den Kern bestimmen. Bringe dazu [mm] $A-E\;$ [/mm] auf reduzierte Zeilenstufenform und lies den Kern ab. Der Kern ist 1-dimensional.

Was du da bestimmt hast ist mir schleierhaft.

Bezug
                
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Di 10.07.2012
Autor: Laura87

Hallo,

danke für deine Antwort. Die alg. Vielfachheit vom Eigenwert 5 ist 1, da kann der Kern auch nur 1 dim sein. Ganz schön blöd von mir :-)

> Du musst den Kern bestimmen. Bringe dazu [mm]A-E\;[/mm] auf
> reduzierte Zeilenstufenform und lies den Kern ab. Der Kern
> ist 1-dimensional.

du meinst A-5E oder?

und bevor ich gleich wieder nachfragen muss...

das muss ich dann auch für

[mm] (A-5E)^2 [/mm]
[mm] (A-5E)^3 [/mm]
[mm] (A-5E)^k...usw. [/mm] fortfahren bis [mm] (A-5E)^k=(A-5E)^{k+1} [/mm]

oder?

Bezug
                        
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Di 10.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> Hallo,
>  
> danke für deine Antwort. Die alg. Vielfachheit vom
> Eigenwert 5 ist 1, da kann der Kern auch nur 1 dim sein.
> Ganz schön blöd von mir :-)
>  
> > Du musst den Kern bestimmen. Bringe dazu [mm]A-E\;[/mm] auf
> > reduzierte Zeilenstufenform und lies den Kern ab. Der Kern
> > ist 1-dimensional.
>  
> du meinst A-5E oder?
>  
> und bevor ich gleich wieder nachfragen muss...
>  
> das muss ich dann auch für
>  
> [mm](A-5E)^2[/mm]
>  [mm](A-5E)^3[/mm]
>  [mm](A-5E)^k...usw.[/mm] fortfahren bis [mm](A-5E)^k=(A-5E)^{k+1}[/mm]
>  
> oder?


Es ist [mm]\operartorname{Kern}\left(A-5E\right)^{k}[/mm] solange zu berechnen, bis

[mm]\operartorname{Kern}\left(A-5E\right)^{k}=\operartorname{Kern}\left(A-5E\right)^{k+1}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 So 15.07.2012
Autor: Laura87

Aufgabe
Berechnen Sie eime Jordanbasis für die Matrix

[mm] \pmat{2&2&-1&-1&-1&3\\0&2&0&1&0&0\\0&-2&3&0&1&-3\\1&1&1&2&0&0\\0&3&-1&-1&1&3\\0&3&0&-1&0&5} [/mm]

Hinweis: [mm] charpoly(A))(\lambda-2)^5(\lambda-5), [/mm] minpoly(A)=charpoly(A). Der Vektor [mm] w=e_{1} [/mm] ist im ker [mm] (A-5I)^5. [/mm] Eine Zeile von [mm] (A-5I)^4 [/mm] ist gegeben durch -1,80,-1,0,0,81). Betrachten Sie auch den Vektor [mm] v:=(1,0,-1,0,1,1)^T [/mm]


Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.

Was ich bis jz habe:

Aus dem Hinweis folgt:

[mm] charpoly(A))(\lambda-2)^5(\lambda-5), [/mm] minpoly(A)=charpoly(A).

d.h.: wir haben die EW 2 und 5

Der EW 2 hat die alg. Vielfachheit 5 und der EW 5 hat die alg. Vielfachheit 1

d.h. die JNF müsste so aussehen:

[mm] \pmat{2&1&0&0&0&0\\0&2&1&0&0&0\\0&0&2&1&0&0\\0&0&0&2&1&0\\0&0&0&0&2&0\\0&0&0&0&0&5} [/mm]

Nun Bestimmen wir eine Basis des verallg. Eigenraums zum EW 5

[mm] ker(A-5)=\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&-1&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&-0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}=\IR \vektor{\bruch{1}{6}\\0\\-\bruch{1}{2}\\0\\1\\1} [/mm]

Das ist die Basis (H,5)

analog bestimmen wir eine Basis der verallg. Eigenraums zum EW 2

da die alg. Vielfachheit 5 ist, wissen wir, dass wir den Kern von

[mm] ker(A-2E)^5=\pmat{0&243&0&0&0&243\\0&0&0&0&0&0\\0&-243&0&0&0&-243\\0&0&0&0&0&0\\0&243&0&0&0&243\\0&243&0&0&0&243}=\IR \vektor{0\\-1\\0\\0\\0\\1}+IR \vektor{1\\0\\1\\1\\1\\0} [/mm]

Es müssen 5 Vektoren sein, aber ich finde nur 2 :-S

Waere für einen Tipp sehr dankbar.

Lg

Bezug
                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> Berechnen Sie eime Jordanbasis für die Matrix
>  
> [mm]\pmat{2&2&-1&-1&-1&3\\0&2&0&1&0&0\\0&-2&3&0&1&-3\\1&1&1&2&0&0\\0&3&-1&-1&1&3\\0&3&0&-1&0&5}[/mm]
>  
> Hinweis: [mm]charpoly(A))(\lambda-2)^5(\lambda-5),[/mm]
> minpoly(A)=charpoly(A). Der Vektor [mm]w=e_{1}[/mm] ist im ker
> [mm](A-5I)^5.[/mm] Eine Zeile von [mm](A-5I)^4[/mm] ist gegeben durch
> -1,80,-1,0,0,81). Betrachten Sie auch den Vektor
> [mm]v:=(1,0,-1,0,1,1)^T[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.
>  
> Was ich bis jz habe:
>  
> Aus dem Hinweis folgt:
>  
> [mm]charpoly(A))(\lambda-2)^5(\lambda-5),[/mm]
> minpoly(A)=charpoly(A).
>
> d.h.: wir haben die EW 2 und 5
>
> Der EW 2 hat die alg. Vielfachheit 5 und der EW 5 hat die
> alg. Vielfachheit 1
>  
> d.h. die JNF müsste so aussehen:
>  
> [mm]\pmat{2&1&0&0&0&0\\0&2&1&0&0&0\\0&0&2&1&0&0\\0&0&0&2&1&0\\0&0&0&0&2&0\\0&0&0&0&0&5}[/mm]
>  
> Nun Bestimmen wir eine Basis des verallg. Eigenraums zum EW
> 5
>  
> [mm]ker(A-5)=\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&-1&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&-0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}=\IR \vektor{\bruch{1}{6}\\0\\-\bruch{1}{2}\\0\\1\\1}[/mm]

>


Die Matrix muss doch so lauten:

[mm]\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&\red{-2}&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&-0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}[/mm]

Damit stimmt auch der angegebene Lösungsvektor nicht.


> Das ist die Basis (H,5)
>  
> analog bestimmen wir eine Basis der verallg. Eigenraums zum
> EW 2
>  
> da die alg. Vielfachheit 5 ist, wissen wir, dass wir den
> Kern von
>  
> [mm]ker(A-2E)^5=\pmat{0&243&0&0&0&243\\0&0&0&0&0&0\\0&-243&0&0&0&-243\\0&0&0&0&0&0\\0&243&0&0&0&243\\0&243&0&0&0&243}=\IR \vektor{0\\-1\\0\\0\\0\\1}+IR \vektor{1\\0\\1\\1\\1\\0}[/mm]
>  
> Es müssen 5 Vektoren sein, aber ich finde nur 2 :-S
>  


Der zweite Lösungsvektor stimmt nicht.

Bedenke, daß hier 5 Variablen frei wählbar sind.
Damit ist der Lösungsraum 5-parametrig.

Einige der Einheitsvektoren werden durch diese Matrix auf den Nullvektor abgebildet.


> Waere für einen Tipp sehr dankbar.
>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 So 15.07.2012
Autor: Laura87

Hallo Mathepower,

danke für deine Korrektur.

>  
>
> Die Matrix muss doch so lauten:
>  
> [mm]\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&\red{-2}&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&-0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}[/mm]
>  
> Damit stimmt auch der angegebene Lösungsvektor nicht.


Habe jz als Lösungsvektor (1 0 -1 0 1 [mm] 1)^T [/mm]





>
> Der zweite Lösungsvektor stimmt nicht.
>  
> Bedenke, daß hier 5 Variablen frei wählbar sind.
>  Damit ist der Lösungsraum 5-parametrig.
>  
> Einige der Einheitsvektoren werden durch diese Matrix auf
> den Nullvektor abgebildet.
>  


hmm also hier blicke ich immer noch nicht wirklich durch.

Wenn ich die Matrix als ein Gleichungssystem aufschreibe folgt:

[mm] x_2=-x_6 [/mm]

und weiter? Welche 5 soll ich jetzt frei waehlen?

Sry, aber es hat noch nicht klick gemacht bei mir.

Lg Laura

Bezug
                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> Hallo Mathepower,
>  
> danke für deine Korrektur.
>  
> >  

> >
> > Die Matrix muss doch so lauten:
>  >  
> >
> [mm]\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&\red{-2}&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&-0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}[/mm]
>  >  
> > Damit stimmt auch der angegebene Lösungsvektor nicht.
>  
>
> Habe jz als Lösungsvektor (1 0 -1 0 1 [mm]1)^T[/mm]
>  
>
>
>
>
> >
> > Der zweite Lösungsvektor stimmt nicht.
>  >  
> > Bedenke, daß hier 5 Variablen frei wählbar sind.
>  >  Damit ist der Lösungsraum 5-parametrig.
>  >  
> > Einige der Einheitsvektoren werden durch diese Matrix auf
> > den Nullvektor abgebildet.
>  >  
>
>
> hmm also hier blicke ich immer noch nicht wirklich durch.
>  
> Wenn ich die Matrix als ein Gleichungssystem aufschreibe
> folgt:
>  
> [mm]x_2=-x_6[/mm]
>  
> und weiter? Welche 5 soll ich jetzt frei waehlen?
>  
> Sry, aber es hat noch nicht klick gemacht bei mir.
>  


Es sind 4 weitere Variablen, die frei wählbar sind: [mm]x_{1}, \ x_{3}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]


> Lg Laura


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 So 15.07.2012
Autor: Laura87

hmm deshalb hatte ich einfach geschrieben, dass diese 4 Variablen 1 sind, aber das ist ja falsch.

Bedeutet dies, dass mein zweiter Vektor einfach [mm] \vektor{x_1\\x_2=-x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6=-x_2} [/mm]



Bezug
                                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> hmm deshalb hatte ich einfach geschrieben, dass diese 4
> Variablen 1 sind, aber das ist ja falsch.
>
> Bedeutet dies, dass mein zweiter Vektor einfach
> [mm]\vektor{x_1\\x_2=-x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6=-x_2}[/mm]
>  


Nein, das ist der gesamte Lösungsvektor, und der sieht so aus:

[mm]\vektor{x_1 \\ -x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6}[/mm]

Das kannst Du jetzt in der Form

[mm]x_{1}*\overrightarrow{v_{1}}+x_{3}*\overrightarrow{v_{3}}+x_{4}*\overrightarrow{v_{4}}+x_{5}*\overrightarrow{v_{5}}+x_{6}*\overrightarrow{v_{6}}[/mm]

schreiben, wobei die Vektoren [mm]\overrightarrow{v_{1}}, \ \overrightarrow{v_{3}}, \ \overrightarrow{v_{4}}, \ \overrightarrow{v_{5}}, \ \overrightarrow{v_{6}}[/mm] noch zu bestimmen sind.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 So 15.07.2012
Autor: Laura87

ich hoffe ich habe es jetzt richtig:

[mm] \vektor{x_1\\-x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6}=x_1\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}+x_2\vektor{0\\1\\0\\0\\0\\0}+x_3\vektor{0\\0\\1\\0\\0\\0}+x_4\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0}+x_5\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0}+x_6\vektor{0\\-1\\0\\0\\0\\1} [/mm]

hmm den letzten hatte ich schon also fehlt mir immer noch einer

Bezug
                                                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> ich hoffe ich habe es jetzt richtig:
>  
> [mm]\vektor{x_1\\-x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6}=x_1\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}+x_2\vektor{0\\1\\0\\0\\0\\0}+x_3\vektor{0\\0\\1\\0\\0\\0}+x_4\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0}+x_5\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0}+x_6\vektor{0\\-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]
>  
> hmm den letzten hatte ich schon also fehlt mir immer noch
> einer


Es fehlt Dir kein Vektor, im Gegenteil der Vektor

[mm]\vektor{0\\1\\0\\0\\0\\0}[/mm]

ist zuviel.

Korrekt lautet das so:

[mm]\vektor{x_1\\-x_6\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6}=x_1\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}++x_3\vektor{0\\0\\1\\0\\0\\0}+x_4\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0}+x_5\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0}+x_6\vektor{0\\-1\\0\\0\\0\\1}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                        
Bezug
Jordanbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 So 15.07.2012
Autor: Laura87

Vielen dank! Ohne deine Hilfe ging heute gar nichts! Dann mach ich mich mal an die Jordankette...

Bezug
                                                                        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 Mi 18.07.2012
Autor: Laura87

bevor ich mich tot rechner noch eine Frage: İch habe ja zwei verschiedene Eigenwerte. Muss ich die Getrennt betrachten, wenn ich die Jordanketten berechne? Also habe ich zu verschiedenen Eigenwerten auch verschiedene Ketten?

İch hoffe ihr versteht, was ich meine :-)

Bezug
                                                                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mi 18.07.2012
Autor: angela.h.b.


> bevor ich mich tot rechner noch eine Frage: İch habe ja
> zwei verschiedene Eigenwerte. Muss ich die Getrennt
> betrachten, wenn ich die Jordanketten berechne? Also habe
> ich zu verschiedenen Eigenwerten auch verschiedene Ketten?
>
> İch hoffe ihr versteht, was ich meine :-)

Hallo,

ja, ich verstehe, was Du meinst.
Du mußt das für jeden Eigenwert getrennt machen.

LG Angela


Bezug
                                                                                        
Bezug
Jordanbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Mi 18.07.2012
Autor: Laura87

danke :-)

Bezug
                                                                        
Bezug
Jordanbasis: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mi 18.07.2012
Autor: Laura87

ich habs jetzt einfach mal ausprobiert:

Jordankette für [mm] \lambda=5 [/mm] (1 Jordankette der Laenge 1)

[mm] (A-5E)v_1=\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}*\vektor{1\\0\\-1\\0\\1\\1}=0 [/mm]

[mm] JK:{v_1} [/mm]

Jordankette für [mm] \lambda=2 [/mm] (1 Jordankette der Laenge 5)

[mm] (A-2E)v_1=\pmat{0&2&-1&-1&-1&3\\0&0&0&1&0&0\\0&-2&1&0&1&-3\\1&1&1&0&0&0\\0&3&-1&-1&-1&3\\0&3&0&-1&0&3}*\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0}=v_4 [/mm]

D.h. unser erstes Element der JK: [mm] {v_4 <- v_1,.....} [/mm]

[mm] (A-2E)v_3=..=\vektor{-1\\0\\1\\1\\-1\\0}=w_1 [/mm]

da dies weder der Nullvektor ist, noch ein Vektor, denn wir schon kennen, bezeichne ich es mit [mm] w_1 [/mm] und berechne:

[mm] (A-2E)w_1=....=\vektor{-1\\1\\0\\0\\-1\\-1}=w_2 [/mm]

es gilt immer noch das selbe wie oben. Also:

[mm] (A-2E)w_2=...=\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0}=v_5 [/mm]

hier können wir nun abbrechen, da dies ein Vektor ist, denn wir schon kennen.

Meine Frage ist hier, wie ich das bei der Kette aufschreiben muss:

JK: [mm] {v_4 <- v_1, v_5 <- v_3...} [/mm] oder

JK: [mm] {v_4 <- v_1, w_1 <- v_3, w_2 <- w_1, v_5 <- w_2....} [/mm]

???

[mm] (A-2E)v_4=...=\vektor{-1\\1\\0\\0\\-1\\-1}=w_2 [/mm]

wir kennen den Vektor schon. Also brechen wir hier ab.

(Element der JK [mm] w_2 [/mm] <-- [mm] v_4) [/mm]

[mm] (A-2E)v_5=...=\vektor{-1\\0\\1\\0\\-1\\0}=w_3 [/mm]

[mm] (A-2E)w_3=...=0 [/mm]

d.h. [mm] w_3 [/mm] <-- [mm] v_5 [/mm]

[mm] (A-2E)v_6=...=\vektor{1\\0\\-1\\-1\\0\\0}=w_4 [/mm]

[mm] (A-2E)w_4=...=\vektor{2\\-1\\-1\\0\\2\\1}=w_5 [/mm]

[mm] (A-2E)w_5=...=\vektor{0\\0\\0\\0\\-1\\0}=w_6 [/mm]

[mm] (A-2E)w_6=...=\vektor{1\\0\\-1\\0\\1\\0}=-w_3 [/mm]



Für eine Korrektur waere ich sehr dankbar!

Lg Laura

Bezug
                                                                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mi 18.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> ich habs jetzt einfach mal ausprobiert:
>  
> Jordankette für [mm]\lambda=5[/mm] (1 Jordankette der Laenge 1)
>  
> [mm](A-5E)v_1=\pmat{-3&2&-1&-1&-1&3\\0&-3&0&1&0&0\\0&-2&-2&0&1&-3\\1&1&1&-3&0&0\\0&3&-1&-1&-4&3\\0&3&0&-1&0&0}*\vektor{1\\0\\-1\\0\\1\\1}=0[/mm]
>  
> [mm]JK:{v_1}[/mm]
>  
> Jordankette für [mm]\lambda=2[/mm] (1 Jordankette der Laenge 5)
>  
> [mm](A-2E)v_1=\pmat{0&2&-1&-1&-1&3\\0&0&0&1&0&0\\0&-2&1&0&1&-3\\1&1&1&0&0&0\\0&3&-1&-1&-1&3\\0&3&0&-1&0&3}*\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0}=v_4[/mm]
>  
> D.h. unser erstes Element der JK: [mm]{v_4 <- v_1,.....}[/mm]
>  
> [mm](A-2E)v_3=..=\vektor{-1\\0\\1\\1\\-1\\0}=w_1[/mm]
>  
> da dies weder der Nullvektor ist, noch ein Vektor, denn wir
> schon kennen, bezeichne ich es mit [mm]w_1[/mm] und berechne:
>  
> [mm](A-2E)w_1=....=\vektor{-1\\1\\0\\0\\-1\\-1}=w_2[/mm]
>  
> es gilt immer noch das selbe wie oben. Also:
>  
> [mm](A-2E)w_2=...=\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0}=v_5[/mm]
>  
> hier können wir nun abbrechen, da dies ein Vektor ist,
> denn wir schon kennen.
>
> Meine Frage ist hier, wie ich das bei der Kette
> aufschreiben muss:
>  
> JK: [mm]{v_4 <- v_1, v_5 <- v_3...}[/mm] oder
>  
> JK: [mm]{v_4 <- v_1, w_1 <- v_3, w_2 <- w_1, v_5 <- w_2....}[/mm]
>  
> ???
>  
> [mm](A-2E)v_4=...=\vektor{-1\\1\\0\\0\\-1\\-1}=w_2[/mm]
>  
> wir kennen den Vektor schon. Also brechen wir hier ab.
>  
> (Element der JK [mm]w_2[/mm] <-- [mm]v_4)[/mm]
>  
> [mm](A-2E)v_5=...=\vektor{-1\\0\\1\\0\\-1\\0}=w_3[/mm]
>  
> [mm](A-2E)w_3=...=0[/mm]
>  
> d.h. [mm]w_3[/mm] <-- [mm]v_5[/mm]
>  
> [mm](A-2E)v_6=...=\vektor{1\\0\\-1\\-1\\0\\0}=w_4[/mm]
>  
> [mm](A-2E)w_4=...=\vektor{2\\-1\\-1\\0\\2\\1}=w_5[/mm]
>  
> [mm](A-2E)w_5=...=\vektor{0\\0\\0\\0\\-1\\0}=w_6[/mm]
>  
> [mm](A-2E)w_6=...=\vektor{1\\0\\-1\\0\\1\\0}=-w_3[/mm]
>  
>
>
> Für eine Korrektur waere ich sehr dankbar!
>  


Zunächst benötigst Du doch einen Vektor [mm]\vec{v}[/mm]
für den

[mm]\left(A-2E\right)\vec{v} \not= \vec{0}[/mm]

,wobei [mm]\vec{v} \in \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{5}[/mm]

Diesen Vektor [mm]\vec{v}[/mm] hast Du mit [mm]\vec{v}=\vec{v_{1}}[/mm] gefunden.

Da [mm]\left(A-2E\right)\overrightarrow{v_{1}}=\overrightarrow{v_{4}}[/mm]

mußt Du jetzt prüfen, ob [mm]\left(A-2E\right)\overrightarrow{v_{4}} \not= \overrightarrow{0}[/mm]

Ist das der Fall, dann hast Du schon 3 Basisvektoren des verallgemeinerten Eigenraums zum Eigenwert 2 gefunden.

Ist das nicht der Fall, dann musst Du einen andern Vektor [mm]\vec{v}[/mm] wählen.


> Lg Laura


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                        
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mi 18.07.2012
Autor: Laura87

hmm ich glaube wir haben es irgendwie anders gemacht in der Vorlesung :-S  In meinem Skript steht


Beispiel:

[mm] A=\pmat{1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&-1&1&1&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1} [/mm]

[mm] v_1=\vektor{1\\1\\0\\0\\0}, v_2=\vektor{1\\-1\\0\\0\\0}, v_3=\vektor{1\\1\\0\\1\\1}, v_4=\vektor{0\\0\\0\\1\\-1}, v_5=\vektor{0\\0\\1\\0\\0} [/mm]

[mm] (A-E)v_1=...=\vektor{1 \\0\\-1\\0\\-1}=w [/mm]

da wir w noch nicht kennen, fahren wir fort

(A-E)w=...=0

w= Basisvektor

[mm] (A-E)v_2=-w.... [/mm]

also was ich sagen will, Du hast geschrieben....wenn ungleich Null! Wir haben in der Vorlesung immer aufgehört wenn gleich Null oder ein Vektor, denn wir schon kennen.


Bezug
                                                                                                
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 18.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> hmm ich glaube wir haben es irgendwie anders gemacht in der
> Vorlesung :-S  In meinem Skript steht
>  
>
> Beispiel:
>  
> [mm]A=\pmat{1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&-1&1&1&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&1}[/mm]
>  
> [mm]v_1=\vektor{1\\1\\0\\0\\0}, v_2=\vektor{1\\-1\\0\\0\\0}, v_3=\vektor{1\\1\\0\\1\\1}, v_4=\vektor{0\\0\\0\\1\\-1}, v_5=\vektor{0\\0\\1\\0\\0}[/mm]
>  
> [mm](A-E)v_1=...=\vektor{1 \\0\\-1\\0\\-1}=w[/mm]
>  
> da wir w noch nicht kennen, fahren wir fort
>  
> (A-E)w=...=0
>  
> w= Basisvektor
>  
> [mm](A-E)v_2=-w....[/mm]
>  
> also was ich sagen will, Du hast geschrieben....wenn
> ungleich Null! Wir haben in der Vorlesung immer aufgehört
> wenn gleich Null oder ein Vektor, denn wir schon kennen.
>  


Natürlich musst Du auch schauen, ob der so erhaltene Vektor
in den vorherigen Kernen liegt. Ist das der Fall, dann musst Du
einen anderen Vektor wählen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Jordanbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 18.07.2012
Autor: Laura87

Also müsste das stimmen, weil ich das genauso gemacht habe (falls ich mich nicht verrechnet habe).

Was ich aber nicht weiss ist:


>
> Meine Frage ist hier, wie ich das bei der Kette
> aufschreiben muss:
>  
> JK: [mm]{v_4 <- v_1, v_5 <- v_3...}[/mm] oder
>  
> JK: [mm]{v_4 <- v_1, w_1 <- v_3, w_2 <- w_1, v_5 <- w_2....}[/mm]
>  
> ???
>  


Bezug
                                                                                        
Bezug
Jordanbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 18.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> Also müsste das stimmen, weil ich das genauso gemacht habe
> (falls ich mich nicht verrechnet habe).
>  


Nur ist das Problem, dass Du keine 5 Basisvektoren hast.

Es ist richtig, wenn [mm]v \in \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{k}[/mm],
dass dann

[mm]\left(A-2E\right)v } \notin \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{k-1}[/mm]

Mit [mm]v_{3} \in \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{5}[/mm] ist

[mm]\left(A-2E\right)v_{3} \notin \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{4}[/mm]

Damit ist [mm]w_{1}=\left(A-2E\right)v_{3}[/mm]

Dann muss [mm]\left(A-2E\right)w_{1} \notin \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{3}[/mm] sein. Dies ist der Fall, so daß wir

[mm]w_{2}=\left(A-2E\right)w_{1}[/mm]

definieren können.

Nun ist

[mm]\left(A-2E\right)w_{2} \in \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{5}[/mm]

aber kein Element von [mm]\operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{2}[/mm]

Damit ist [mm]v_{5}=\left(A-2E\right)w_{2} [/mm]

Bisher hast Du folgende Vektoren: [mm]v_{3}, \ w_{1}, \ w_{2}, \ v_{5}[/mm]

Zu guter letzt ist noch zu prüfen, ob [mm]\left(A-2E\right)v_{5} \in \operatorname{Kern}\left(A-2E\right)^{1}[/mm]

Ist das nicht der Fall, so hast Du dann Deine Basis zum
verallgemeinerten Eigenraum zum Eigenwert 2.


> Was ich aber nicht weiss ist:
>  
>
> >
> > Meine Frage ist hier, wie ich das bei der Kette
> > aufschreiben muss:
>  >  
> > JK: [mm]{v_4 <- v_1, v_5 <- v_3...}[/mm] oder
>  >  
> > JK: [mm]{v_4 <- v_1, w_1 <- v_3, w_2 <- w_1, v_5 <- w_2....}[/mm]
>  
> >  

> > ???
>  >  

>


Gruss
MathePower  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]