Integralformel von Cauchy < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 22.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die beiden Integrale
[mm] \integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{dz}{1+z^2}} [/mm] und [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{dz}{z^2-1}}
[/mm]
mit Hilfe der Integralformel von Cauchy. Die Kurven seien dabei positiv orientiert. |
Hallo! Habe noch ein paar Probleme mit der Anwendung, wäre nett wenn jemand drüber schaut und etwas dazu sagt. Habe mich im Groben hieran orientiert.
Beim ersten Integral habe ich Folgendes:
$ [mm] \integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{dz}{1+z^2}}=\integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{\bruch{1}{z+i}}{z-i}dz} [/mm] \ \ [mm] \*$
[/mm]
Jetzt ist [mm] f(z)=\bruch{1}{z+i} [/mm] holomorph in [mm] B_2(2i) [/mm] und [mm] \zeta=i [/mm] also:
$ [mm] \*=2\pi i*f(i)=2\pi i*\bruch{1}{i+i}=\bruch{2\pi}{i} [/mm] $
Ist das so ok oder habe ich es falsch verstanden?
Zum 2. Integral: Hier dachte ich daran das Integral aufzuteilen:
[mm] c_1 [/mm] soll die linke und [mm] c_2 [/mm] die rechte Hälfte von [mm] B_2(0) [/mm] sein.
$ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{dz}{z^2-1}}=\integral_{c_1}{\bruch{\bruch{1}{z+1}}{z-1}}+\integral_{c_2}{\bruch{\bruch{1}{z-1}}{z+1}}=\bruch{1}{2}2\pi [/mm] i $ + $ [mm] (-\bruch{1}{2}2\pi [/mm] i)=0 $
Oder muss das rote + ein - sein? Das Ergebnis ist etwas irritierend. Naja, wäre super wenn jemand meinen Murks korrigieren könnte. :)
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 22.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo chesn!
> Bestimmen Sie die beiden Integrale
>
> [mm]\integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{dz}{1+z^2}}[/mm] und
> [mm]\integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{dz}{z^2-1}}[/mm]
>
> mit Hilfe der Integralformel von Cauchy. Die Kurven seien
> dabei positiv orientiert.
> Hallo! Habe noch ein paar Probleme mit der Anwendung,
> wäre nett wenn jemand drüber schaut und etwas dazu sagt.
> Habe mich im Groben hieran
> orientiert.
>
> Beim ersten Integral habe ich Folgendes:
>
> [mm]\integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{dz}{1+z^2}}=\integral_{\partial B_2(2i)}{\bruch{\bruch{1}{z+i}}{z-i}dz} \ \ \*[/mm]
>
> Jetzt ist [mm]f(z)=\bruch{1}{z+i}[/mm] holomorph in [mm]B_2(2i)[/mm] und
> [mm]\zeta=i[/mm] also:
>
> [mm]\*=2\pi i*f(i)=2\pi i*\bruch{1}{i+i}=\bruch{2\pi}{i}[/mm]
[mm] 2\pi i*\bruch{1}{i+i} = \pi [/mm]
aber sonst ist es ok.
> Zum 2. Integral: Hier dachte ich daran das Integral
> aufzuteilen:
> [mm]c_1[/mm] soll die linke und [mm]c_2[/mm] die rechte Hälfte von [mm]B_2(0)[/mm]
> sein.
Es ist ganz klar, was du meinst. Die Cauchysche Integralformel gilt nur für geschlossene Kurven. Ein Halbkreis ist nicht geschlossen. Ober meinst du die Ränder der beiden Halbkreisscheiben? Dann musst du auch [mm] $\partial c_1$ [/mm] und [mm] $\partial c_2$ [/mm] schreiben.
Tipp: Partialbruchzerlegung
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 22.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für deine schnelle Antwort!
Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf
[mm] \bruch{1}{z^2-1}=\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}
[/mm]
Ist jetzt einfach [mm] f(z)=\bruch{1}{2} [/mm] ?? Wie mache ich dann weiter?
Wenn jetzt [mm] \partial c_1 [/mm] und [mm] \partial c_2 [/mm] die Ränder der oberen und unteren Halbkreisscheibe sind:
[mm] \integral_{\partial c_1}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1}}+\integral_{\partial c_2}{-\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}}=\bruch{1}{2}*2\pi*i-\bruch{1}{2}*2\pi*i=0
[/mm]
oder wie sieht das Ganze dann aus? Kommt auch tatsächlich 0 raus, oder muss da ein + hin, weil [mm] \partial c_2 [/mm] durch den negativen Bereich läuft?
Naja.. aller Anfang ist schwer.. :)
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Danke für deine schnelle Antwort!
>
> Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf
>
> [mm]\bruch{1}{z^2-1}=\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}[/mm]
>
> Ist jetzt einfach [mm]f(z)=\bruch{1}{2}[/mm] ??
Ja, das kannst Du machen.
> Wie mache ich dann
> weiter?
Es ist doch $ [mm] \integral_{\partial B_2(0)}{\bruch{1}{z-z_0}dz}=2 \pi [/mm] i$ für jedes [mm] z_0 [/mm] mit [mm] |z_0|<2.
[/mm]
> Wenn jetzt [mm]\partial c_1[/mm] und [mm]\partial c_2[/mm] die Ränder der
> oberen und unteren Halbkreisscheibe sind:
>
> [mm]\integral_{\partial c_1}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1}}+\integral_{\partial c_2}{-\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}}=\bruch{1}{2}*2\pi*i-\bruch{1}{2}*2\pi*i=0[/mm]
>
> oder wie sieht das Ganze dann aus?
So wie Du es geschrieben hast.
> Kommt auch tatsächlich
> 0 raus,
Ja
> oder muss da ein + hin, weil [mm]\partial c_2[/mm] durch den
> negativen Bereich läuft?
Nein
FRED
>
> Naja.. aller Anfang ist schwer.. :)
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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