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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Do 19.04.2012
Autor: Unk

Aufgabe
Berechn [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv. [/mm]

Hallo,

das habe ich natürlich gemacht, allerdings auf zwei verschiedene Weisen, und mich wundern die Ergebnisse.

1. [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{1}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv=\int\frac{\sin^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv+\int\frac{\cos^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv [/mm]
[mm] =\int -\frac{1}{2u}du+\int \frac{dz}{2z} [/mm]
[mm] =-\ln|2u|+\ln|2z|+C=ln|\frac{z}{u}|+C=\ln|\tan(1+v)|+C. [/mm]

2. [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{\sin(1+v)}{\sin^2(1+v)}dv [/mm]
Substitution [mm] \cos(1+v)=t [/mm] und Ausnutzung von [mm] \sin^2(1+v)=1-\cos^2(1+v) [/mm] liefert dann das Integral
[mm] -\int\frac{1}{1-t^2}=-artanh(t)+C=-artanh(cos(1+v))+C. [/mm]

Mich wundert das, dass die so verscheieden sind. Mal angenommen da stünde die Differentialgleichung xv'=sin(1+v),
dann hätte ich mit Variante 1 nach Trennung der Variablen ja
[mm] \ln|\tan(1+v)|+C=\ln|x|, [/mm] was zu [mm] v=arctan(xC_0)-1 [/mm] führt.

Die zweite Variante führt aber zu
[mm] -artanh(\cos(1+v))+C=\ln|x|, [/mm] also [mm] \cos(1+v)=\tanh(-\ln|x|+C), [/mm]
verwendet man also die Identität mit der Exponentialfunktion für die Hyperbelfunktion, erhalte ich am Ende
[mm] v=\arccos(\frac{c^2-x^2}{c^2+x^2})-1, [/mm] mit [mm] c=\exp(C). [/mm]

Irgendwie finde ich doch beide Lösungen recht unterschiedlich. Man kann doch nicht den arccos in den arctan überführen oder?




        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Do 19.04.2012
Autor: MathePower

Hallo Unk,

> Berechn [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv.[/mm]
>  Hallo,
>  
> das habe ich natürlich gemacht, allerdings auf zwei
> verschiedene Weisen, und mich wundern die Ergebnisse.
>  
> 1.
> [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{1}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv=\int\frac{\sin^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv+\int\frac{\cos^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv[/mm]
>  [mm]=\int -\frac{1}{2u}du+\int \frac{dz}{2z}[/mm]
>  
> [mm]=-\ln|2u|+\ln|2z|+C=ln|\frac{z}{u}|+C=\ln|\tan(1+v)|+C.[/mm]
>  


Hier lautet die Stammfunktion:

[mm]\ln|\tan(\red{\bruch{1+v}{2}})|+C.[/mm]


> 2.
> [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{\sin(1+v)}{\sin^2(1+v)}dv[/mm]
>  Substitution [mm]\cos(1+v)=t[/mm] und Ausnutzung von
> [mm]\sin^2(1+v)=1-\cos^2(1+v)[/mm] liefert dann das Integral
> [mm]-\int\frac{1}{1-t^2}=-artanh(t)+C=-artanh(cos(1+v))+C.[/mm]
>  
> Mich wundert das, dass die so verscheieden sind. Mal
> angenommen da stünde die Differentialgleichung
> xv'=sin(1+v),
>  dann hätte ich mit Variante 1 nach Trennung der Variablen
> ja
>  [mm]\ln|\tan(1+v)|+C=\ln|x|,[/mm] was zu [mm]v=arctan(xC_0)-1[/mm] führt.
>  
> Die zweite Variante führt aber zu
>  [mm]-artanh(\cos(1+v))+C=\ln|x|,[/mm] also
> [mm]\cos(1+v)=\tanh(-\ln|x|+C),[/mm]
>  verwendet man also die Identität mit der
> Exponentialfunktion für die Hyperbelfunktion, erhalte ich
> am Ende
>  [mm]v=\arccos(\frac{c^2-x^2}{c^2+x^2})-1,[/mm] mit [mm]c=\exp(C).[/mm]
>  
> Irgendwie finde ich doch beide Lösungen recht
> unterschiedlich. Man kann doch nicht den arccos in den
> arctan überführen oder?
>  


Doch, das geht.


Gruss
MathePower

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