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| Aufgabe | Rechtsseitiger Test
Es besteht der Verdacht, der Würfel liefert zu viele Sechsen.
Nullhypothese [mm] H_{0}: p_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Gegenhypothese [mm] H_{1}: [/mm] p > [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] H_{0} [/mm] wird abgelehnt, wenn deutlich mehr Sechsen fallen, als zu erwarten sind.
Der Verwerfungsbereich von [mm] H_{0} [/mm] liegt rechts vom Erwartungswert. Der zugehörige Verwerfungsbereich hat die Form V = [g;n].
Stichprobenumfang n = 100 und Signifikanzniveau alpha = 0,05 (Irrtumswahrscheinlichkeit) werden vorgegeben.
Für die binomialvertelte Zufallsgröße X als Anzahl der Treffer (Sechsen) lässt sich nebenstehende Tabelle ermitteln.
Für den rechtsseitigen Test folgt damit der Verwerfungsbereich V = [24;100].
Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt P(X [mm] \ge [/mm] 24) = 0,0379.
g [mm] B_{100;\bruch{1}{6}}(g;100)
[/mm]
21. | 0,151888
22. | 0,100183
23. | 0,06305
24. | 0,037864
25. | 0,021703 |
Ich berechne die Grenze von Annahme- bzw. Verwerfungsbereich sonst immer nach der Formel - bei rechtsseitigem Test -:
my + c * sigma
[mm] \bruch{50}{3} [/mm] + 1,64 * [mm] \bruch{5*\wurzel{5}}{3}
[/mm]
= 22,77858581
[mm] \Rightarrow [/mm] Verwerfungsbereich = [22,779;100] das ergibt ganzzahlig:
V = [23;100]
Als Lösung angegeben ist aber: V = [24;100].
Wie kommt es zu diesem Unterschied? Wo ist da mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 So 23.01.2022 | | Autor: | statler |
> Rechtsseitiger Test
> Es besteht der Verdacht, der Würfel liefert zu viele
> Sechsen.
> Nullhypothese [mm]H_{0}: p_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> Gegenhypothese [mm]H_{1}:[/mm] p > [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> [mm]H_{0}[/mm] wird abgelehnt, wenn deutlich mehr Sechsen fallen,
> als zu erwarten sind.
> Der Verwerfungsbereich von [mm]H_{0}[/mm] liegt rechts vom
> Erwartungswert. Der zugehörige Verwerfungsbereich hat die
> Form V = [g;n].
>
> Stichprobenumfang n = 100 und Signifikanzniveau alpha =
> 0,05 (Irrtumswahrscheinlichkeit) werden vorgegeben.
>
> Für die binomialvertelte Zufallsgröße X als Anzahl der
> Treffer (Sechsen) lässt sich nebenstehende Tabelle
> ermitteln.
>
> Für den rechtsseitigen Test folgt damit der
> Verwerfungsbereich V = [24;100].
> Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt P(X [mm]\ge[/mm] 24) =
> 0,0379.
>
> g [mm]B_{100;\bruch{1}{6}}(g;100)[/mm]
> 21. | 0,151888
> 22. | 0,100183
> 23. | 0,06305
> 24. | 0,037864
> 25. | 0,021703
Du willst wahrscheinlich deinen Verdacht untermauern, dazu möchtest du $p [mm] \le \frac{1}{6}$ [/mm] =: [mm] H_{0} [/mm] verwerfen. Dann hättest du [mm] H_{1} [/mm] auf dem vorgegebenen Niveau statistisch bewiesen.
> Ich berechne die Grenze von Annahme- bzw.
> Verwerfungsbereich sonst immer nach der Formel - bei
> rechtsseitigem Test -:
>
> my + c * sigma
>
> [mm]\bruch{50}{3}[/mm] + 1,64 * [mm]\bruch{5*\wurzel{5}}{3}[/mm]
>
> = 22,77858581
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Verwerfungsbereich = [22,779;100] das
> ergibt ganzzahlig:
>
> V = [23;100]
>
> Als Lösung angegeben ist aber: V = [24;100].
>
> Wie kommt es zu diesem Unterschied? Wo ist da mein Fehler?
Nirgends. Deine Formel stammt aus der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Man sollte sie auch nur benutzen wenn [mm] $\sigma [/mm] > 3$ ist, was hier gerade noch zutrifft. Trotzdem ist deine Binomialverteilung schon recht schief, und deswegen weicht die Näherungslösung von der exakten, die aus der angegebenen Tabelle stammt, ab.
Gruß Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:52 Di 25.01.2022 | | Autor: | hase-hh |
Wie sieht es denn mit der Stetigkeitskorrektur aus?
Bei einem zweiseitigen Test mit [mm] \alpha [/mm] = 5% würde man den Annahmebereich mithilfe des 95%-KI berechnen; mit z = 1,96...:
ohne Stetigkeitskorrektur
[ [mm] \mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] + [mm] z*\sigma [/mm] ]
bzw. mit Stetigkeitskorrektur
[ [mm] \mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] -0,5; [mm] \mu [/mm] + [mm] z*\sigma [/mm] +0,5]
Bei einem einseitigen Test mit [mm] \alpha [/mm] = 5% würde man den Annahmebereich mithilfe des 95%-KI berechnen; mit z = 1,64...:
I. rechtsseitiger Test
[ 0 ; [mm] \mu [/mm] + [mm] z*\sigma [/mm] ]
mit Stetigkeitskorrektur
[ 0 ; [mm] \mu [/mm] + [mm] z*\sigma [/mm] +0,5]
[0; [mm] \bruch{50}{3} [/mm] + [mm] 1,64*\bruch{5*\wurzel{5}}{3} [/mm] +0,5]
[0, 23,28]
[0; 23] => Verwerfungsbereich [24;100]
II. linksseitiger Test
[ [mm] \mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] ; n ]
mit Stetigkeitskorrektur
[ [mm] \mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] -0,5 ; n]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Di 25.01.2022 | | Autor: | statler |
Die Verwendung der Stetigkeitskorrektur gibt natürlich eine bessere Näherung, aber wird die in der Schule verwendet?
Auf jeden Fall kann man auch in der Schule mit dem TR problemlos eine exakte Lösung angeben.
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