www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Hüllenoperator
Hüllenoperator < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hüllenoperator: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Mo 05.03.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Sei [mm] $f\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X)$ [/mm] eine Abb. des System aller Teilmengen von X in sich mit den folgenden Eigenschaften:

(i) [mm] $\overline{\emptyset}=\emptyset$ [/mm]

(ii) [mm] $\forall~A\subseteq [/mm] X$ ist [mm] $A\subseteq\overline{A}$ [/mm]

(iii) [mm] $\forall~A\subseteq [/mm] X$ ist [mm] $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$ [/mm]

(iv) [mm] $\forall~A,B\subseteq [/mm] X: [mm] \overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cup\overline{B}$ [/mm]

Eine solche Abbildung heißt Hüllenoperator.

Zeigen Sie, daß auf X eine eindeutig bestimmte Topologie existiert, sodaß [mm] $\overline{A}$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq [/mm] X$ die abgeschlossene Hülle von A in dieser Topologie ist.



Moin, moin!

Mir ist klar, daß ich einmal die Eindeutigkeit und einmal die Existenz zeigen muss.

Aber ich verstehe nicht so genau, wofür ich das zeigen muss.

Für eine Topologie, in der für alle Teilmengen A von X gilt, daß [mm] $\overline{A}$ [/mm] der Abschluss von A ist?


Aber wie ist das gemeint?



        
Bezug
Hüllenoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Mo 05.03.2012
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Ich versuche , Dir zu erklären, wie es gemeint ist (ohne die Querstriche).


Durch die Abb. f wird jeder Teilmenge A von X eine weitere Teilmenge f(A) von X zugeordnet mit den Eigenschaften:



(i)$ f(\emptyset)=\emptyset $

(ii) $ \forall~A\subseteq X $ ist $ A\subseteq f(A)} $

(iii) $ \forall~A\subseteq X $ ist $ f(f(A)=f(A) $

(iv) $ \forall~A,B\subseteq X: f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) $

Du sollst nun zeigen: auf X gibt es genau eine Topologie \tau mit:

      für jedes A \subseteq X ist f(A) die bezüglich \tau abgeschlossene Hülle von A.


( Zur Motivation: in einem top. Raum Y gilt für eine Teilmenge B von Y:

           B ist offen \gdw  Y \ B ist abgeschlossen  \gdw $Y  \setminus B  = \overline{Y \setminus B} $ )

Versuchs also mal mit

   $ \tau:=\{ B \subseteq X : f(X \setminus B)= X \setminus B \}$

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]