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| Aufgabe | Sei [mm] $X^{\sim}$ [/mm] eine Kompaktifizierung eines lokal-kompakten Hausdorff-Raumes $X$.
Zeigen Sie:
a) Es gibt genau eine stetige Abbildung [mm] p_{X^{\sim}}: X^{\sim}\to [/mm] X^+$, deren Einschränkung auf $X$ die Identität ist.
b) Falls [mm] $X^{\sim}\setminus [/mm] X$ nur einen Punkt enthält, ist [mm] $p_{X^{\sim}}$ [/mm] ein Homöomorphismus
c) $X^+$ ist homöomorph zum Quotienten [mm] $X^{\sim}/_\sim$ [/mm] mit [mm] $x\sim y\Leftrightarrow [/mm] x=y$ oder [mm] $x,y\in\partial X:=X^{\sim}/X$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Erst einmal eine Frage zur Notation mit Latex. Gibt es einen Befehl, wie ich die "Schlange" direkt über dem $X$ schreiben kann und das nicht mit [mm] ^{\sim} [/mm] andeuten muss? Ich habe dazu leider nichts gefunden.
Zu a):
Wohl die einzige Funktion die hier Sinn macht ist
[mm] $p_{X^{\sim}}: X^{\sim}\to [/mm] X^+$
[mm] $p_{X^{\sim}}(x)=\begin{cases} x\quad\text{für}\,\, x\in X\\\infty\quad\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Die Funktion ist ja gerade so konstruiert, dass wenn man sie auf $X$ einschränkt, die identische Abbildung erhält.
Wie kann ich von dieser Funktion zeigen, dass sie eindeutig ist?
Als nächstes muss ich die Stetigkeit nachweisen.
Also entweder zeigen, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind, oder das für alle [mm] $x\in X^{\sim}$ [/mm] und jede Umgebung $V$ um [mm] $p_{X^\sim}(x) [/mm] eine Umgebung $U$ von $x$ existiert, mit [mm] $p_{X^{\sim}}(U)\subset [/mm] V$
Da [mm] $X^{\sim}$ [/mm] eine Kompaktifizierung von $X$ ist, enthält [mm] $X^\sim$ [/mm] die Menge $X$ als offene und dichte Teilmenge.
Jedoch weiß ich leider nicht, wie ich hier vorgehen kann um die Stetigkeit nachzuprüfen...
Hat jemand einen Tipp, wie ich die Eindeutigkeit und Stetigkeit dieser Funktion nachprüfen kann, oder ist die Funktion bereits falsch? Im Grunde hat man ja nur diese Möglichkeit eine solche Funktion anzugeben, wenn ich mich nicht täusche.
Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 13.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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