Heronsche Formel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 04.03.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Formulieren und Beweisen Sie die Heronsche Formel.
Benutzen Sie hierzu, dass aus der Kosinussformel für die Ecke A
[mm] sin\alpha= \bruch{2}{bc}\wurzel{p(p-a)(p-b)(p-c)} [/mm] folgt |
Hallo,
ich bin eig. schon fast dem ende angelangt:
Die Heronsche Formel lautet [mm] vol(\dreieck)=\wurzel{p(p-a)(p-b)(p-c)}
[/mm]
Aus [mm] sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 [/mm] folgt
[mm] 4b^2c^2sin^2\alpha=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2
[/mm]
Ich wende zweimal die dritte binomische Formel an und erhalte:
[mm] 4b^2c^2sin^2\alpha=[b+c+a][b+c-a][a-b+c][a+b-c]
[/mm]
So was ich noch weiß ist [mm] p=a+b+c\2 [/mm] (Halber Dreiecksumfang)
Wenn ich aus der letzten Gleichung die wurzel ziehe folgt:
[mm] 2bcsin\alpha=\wurzel{[b+c+a][b+c-a][a-b+c][a+b-c]}
[/mm]
wenn ich jetzt durch zwei teilen würde, würde zwar aus der ersten Klammer p folgen, aber der Rest stimmt ja noch nicht :-S
Kann mir jemand ab hier weiter helfen?
Gruß Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 So 04.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Formulieren und Beweisen Sie die Heronsche Formel.
> Benutzen Sie hierzu, dass aus der Kosinussformel für die
> Ecke A
>
> [mm]sin\alpha= \bruch{2}{bc}\wurzel{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/mm] folgt
> Hallo,
>
> ich bin eig. schon fast dem ende angelangt:
>
>
> Die Heronsche Formel lautet
> [mm]vol(\dreieck)=\wurzel{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/mm]
>
> Aus [mm]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/mm] folgt
>
> [mm]4b^2c^2sin^2\alpha=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2[/mm]
>
> Ich wende zweimal die dritte binomische Formel an und
> erhalte:
>
> [mm]4b^2c^2sin^2\alpha=[b+c+a][b+c-a][a-b+c][a+b-c][/mm]
>
> So was ich noch weiß ist [mm]p=a+b+c\2[/mm] (Halber
> Dreiecksumfang)
>
> Wenn ich aus der letzten Gleichung die wurzel ziehe folgt:
>
> [mm]2bcsin\alpha=\wurzel{[b+c+a][b+c-a][a-b+c][a+b-c]}[/mm]
>
> wenn ich jetzt durch zwei teilen würde, würde zwar aus
> der ersten Klammer p folgen, aber der Rest stimmt ja noch
> nicht :-S
>
> Kann mir jemand ab hier weiter helfen?
>
> Gruß Laura
Den kompletten Beweis zu der Formel findest du bei ![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner
Marius
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:14 So 04.03.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke erst einmal für deine Antwort. Ich habe mir den Link angeschaut jedoch machen die es dort nicht über sinus und cosinus, so wie es von mir verlangt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 06.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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