www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Sonstiges" - Grenzwert einer Folge
Grenzwert einer Folge < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Sa 07.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo!
Habe eine kurze Frage ohne Kontext. Anscheinend gilt

[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] e^{\lambda} [/mm]

Habe versucht, das hier nach x (= [mm] \lambda) [/mm] aufzulösen, leider erfolglos:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda^0}{0!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\lambda^n}{n!} [/mm] = [mm] e^x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{i!} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{0!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n!})^x [/mm]

x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(\summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!}) [/mm]

Und nun? Komme ich hiermit überhaupt weiter?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Sa 07.03.2020
Autor: leduart

Hallo
das ist einfach die Taylorreihe mit der [mm] e^x [/mm] definiert werden kann , wenn man irgendeine Def, von [mm] e^x [/mm] hat. Ich denke nicht dass du da was beweisen musst, oder wie ist denn für dich [mm] e^x [/mm] definiert?
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Sa 07.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

ach Taylor-Reihe. Was einem nicht alles einfallen muss!
Ok, jetzt kann ich die Herleitung des Erwartungswertes der Poisson-Verteilung nachvollziehen:

E(X) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] i [mm] \bruch{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{i - 1}}{(i - 1)!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!} [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

Jetzt steht hier, die Rechnung für die Varianz [mm] (\sigma^2 [/mm] = [mm] \lambda) [/mm] sieht analog aus.

Versuche mich daran, leider bislang vergeblich:

[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} i^2 \bruch{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} i^2 \bruch{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] \bruch{\lambda}{e^{\lambda}} \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] i [mm] \bruch{\lambda^{i - 1}}{(i - 1)!} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm]

Wie geht es jetzt weiter? Kann mir einer helfen?

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 So 08.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie geht es jetzt weiter? Kann mir einer helfen?

Es ist $i = (i-1) + 1$

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Sa 07.03.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  Habe eine kurze Frage ohne Kontext. Anscheinend gilt
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{\lambda^i}{i!}[/mm] = [mm]e^{\lambda}[/mm]
>  
> Habe versucht, das hier nach x (= [mm]\lambda)[/mm] aufzulösen,
> leider erfolglos:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!}[/mm]
> = [mm]\bruch{\lambda^0}{0!}[/mm] + ... + [mm]\bruch{\lambda^n}{n!}[/mm] = [mm]e^x[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{i!}[/mm]
> = [mm](\bruch{1}{0!}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n!})^x[/mm]


Nach dem  dritten =  fehlt ein x, nach dem vierten  = fehlt  lim.

>  
> x = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln(\summe_{i=0}^{n} \bruch{\lambda^i}{i!})[/mm]
>  
> Und nun?

Diese letzte Gleichung ist  gerade

   $ [mm] x=\ln (e^{\lambda })=\lambda [/mm] =x$,

Nach dem  Motto : verwurschtle ich eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion,  so kommt die Identität heraus.



> Komme ich hiermit überhaupt weiter?
>  
> Danke und Gruß,
>  
> Martin


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]