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Grenzwert: L´Hopital
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 30.09.2015
Autor: Hias

Aufgabe
Ich möchte den Grenzwerte von
[mm] $$\bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}*exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) [/mm] $$
berechnen, für $r-> [mm] b\pm\varepsilon$. [/mm]

Ich hätte zwei Fragen.
Erstens: Genügt es zu argumentieren, das [mm] $exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) [/mm] $ schneller fällt als das Polynom wächst und somit der Grenzwert an den beiden Stellen =0 ist?
Zweitens: Ich habe versucht den Grenzwert mit L´Hopial zu berechnen, jedoch bekomme ich beim ableiten den Bruch immer wieder zurück, so dass sich der Lopital endlos fortsetzt. Kann das sein, bzw. kann man es trotzdem explizit berechnen?

Danke im Voraus
Hias

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Mi 30.09.2015
Autor: fred97


> Ich möchte den Grenzwerte von
> [mm]\bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}*exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2})[/mm]
>  
> berechnen, für [mm]r-> b\pm\varepsilon[/mm].
>  Ich hätte zwei
> Fragen.
> Erstens: Genügt es zu argumentieren, das
> [mm]exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2})[/mm]
> schneller fällt als das Polynom wächst und somit der
> Grenzwert an den beiden Stellen =0 ist?
>  Zweitens: Ich habe versucht den Grenzwert mit L´Hopial zu
> berechnen, jedoch bekomme ich beim ableiten den Bruch immer
> wieder zurück, so dass sich der Lopital endlos fortsetzt.
> Kann das sein, bzw. kann man es trotzdem explizit
> berechnen?
>  
> Danke im Voraus
> Hias


Ich stelle fest (dabei gehe ich von [mm] \varepsilon [/mm] >0 aus):

ist $ r<b- [mm] \varepsilon$, [/mm]

so ist

[mm] 1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}=\bruch{-(b-r)^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2} [/mm] >0.

Somit

[mm] $1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2} \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm]  für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$. [/mm]

Damit haben wir auch

[mm] $exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm]  für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$. [/mm]

Folglich:



    $ [mm] \bruch{2 \varepsilon^2(b-r)}{(\varepsilon^2-(b-r)^2)^2}\cdot{}exp(1-\bruch{\varepsilon^2}{\varepsilon^2-(b-r)^2}) \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] für $ r [mm] \to [/mm] b- [mm] \varepsilon$. [/mm]


Dh.: in diesem Fall ex. der Grenzwert nicht in [mm] \IR [/mm] !

FRED

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Mi 30.09.2015
Autor: Hias

Ja das ist mein Fehler, außerhalb des Intervalls von [mm] $(b-\varepsilon, b+\varepsilon)$ [/mm] möchte ich mit der 0 fortsetzten.

Bezug
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