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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Grad des Zerfällungskörpers
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Grad des Zerfällungskörpers: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Do 16.01.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm] \IQ[x] [/mm] jeweils den Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm] \IQ: [/mm]

i)   [mm] x^{4}+4 [/mm]
ii)  [mm] x^{8}-2 [/mm]
iii) [mm] (x^{2}+4x+5)(x^{4}+1) [/mm]

Hallo,

bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:

i)

Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
[mm] \Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)). [/mm] Da -1 [mm] \in \IQ [/mm] folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm] \in \IQ((1+i),(1-i)), [/mm] also [mm] \IQ((1+i),(1-i)) [/mm] Zerfällungskörper.
[mm] [\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)] [/mm]
[mm] dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2, [/mm] denn eine Basis ist [mm] \{1, i\} [/mm]
[mm] dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1, [/mm] denn eine Basis ist [mm] \{i\} [/mm]
Also Grad des Zerfällungskörpers über [mm] \IQ [/mm] gleich 2

Wäre Aufgabe i) erstmal so weit in Ordnung?

Viele Grüße
derriemann

        
Bezug
Grad des Zerfällungskörpers: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Do 16.01.2014
Autor: Schadowmaster

Hey,

> Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm]\IQ[x][/mm] jeweils den
> Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm]\IQ:[/mm]
>  
> i)   [mm]x^{4}+4[/mm]
>  ii)  [mm]x^{8}-2[/mm]
>  iii) [mm](x^{2}+4x+5)(x^{4}+1)[/mm]
>  Hallo,
>  
> bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:
>  
> i)
>  
> Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
>  [mm]\Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)).[/mm] Da -1 [mm]\in \IQ[/mm]
> folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm]\in \IQ((1+i),(1-i)),[/mm]
> also [mm]\IQ((1+i),(1-i))[/mm] Zerfällungskörper.
>  
> [mm][\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)][/mm]
>  [mm]dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2,[/mm] denn eine Basis ist [mm]\{1, i\}[/mm]
>  
> [mm]dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1,[/mm] denn eine Basis ist
> [mm]\{i\}[/mm]


Hmm, warum das?
Zeig mir doch mal, wie du zum Beispiel die 1 als Vielfaches dieses Basiselements schreibst. ;)

>  Also Grad des Zerfällungskörpers über [mm]\IQ[/mm] gleich 2
>  
> Wäre Aufgabe i) erstmal so weit in Ordnung?

Bis auf die eine Anmerkung siehts gut aus.


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
Grad des Zerfällungskörpers: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Fr 17.01.2014
Autor: derriemann

Oh, stimmt. Also wäre die Basis von [mm] \IQ((1-i),(1+i)) [/mm] über [mm] \IQ(1+i) [/mm] = {1}

und zu ii)

Die Nullstellen sind ja schon einmal nicht sehr handlich.
Also Nullstellen sind [mm] \pm\wurzel[8]{2}, \pm i\wurzel[8]{2}, \pm \wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}, -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2} [/mm]
Also Zerfällungskörper = [mm] \IQ((\wurzel[8]{2}),( i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),( -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2})) [/mm]
Grad des Zerfällungskörpers:
[mm] [\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{B}=\{1, \wurzel[8]{2}\} [/mm] eine Basis.
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2})):\IQ(\wurzel[8]{2})]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{C}=\{1, i\} [/mm] eine Basis
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2})):\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}))]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{D}=\{1, \wurzel[4]{-1}\} [/mm] eine Basis, sowie
[mm] [\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),(-(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2})): \IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}))]=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{E}=\{1, (-1)^{3/4}\} [/mm] eine Basis.
Also Grad des Zerfällungskörpers = [mm] 2^{4}=16 [/mm]

Da bin ich mir jetzt total unsicher :-)


Bezug
                        
Bezug
Grad des Zerfällungskörpers: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 18.01.2014
Autor: felixf

Moin!

> Oh, stimmt. Also wäre die Basis von [mm]\IQ((1-i),(1+i))[/mm] über
> [mm]\IQ(1+i)[/mm] = {1}
>  
> und zu ii)
>  
> Die Nullstellen sind ja schon einmal nicht sehr handlich.
>  Also Nullstellen sind [mm]\pm\wurzel[8]{2}, \pm i\wurzel[8]{2}, \pm \wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}, -(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2}[/mm]

Das wird wesentlich einfachre, wenn du alles durch [mm] $\xi [/mm] := [mm] \sqrt[8]{2}$ [/mm] und [mm] $\zeta [/mm] := [mm] \exp\frac{2\pi i}{8}$ [/mm] (was im Wesentlichen gleich [mm] $\sqrt[4]{-1}$ [/mm] ist) ausdrueckst: dann hast du naemlich die Nullstellen [mm] $\xi \zeta^i$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] i < 8$, und siehst gleich, dass [mm] $\IQ(\zeta, \xi)$ [/mm] der Zerfaellungskoerper ist.

> Grad des Zerfällungskörpers:
>  [mm][\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ]=2,[/mm] denn [mm]\mathcal{B}=\{1, \wurzel[8]{2}\}[/mm]
> eine Basis.

Nein, das stimmt nicht. Z.B. ist [mm] $\sqrt[8]{2}^2$ [/mm] nicht durch diese Basis darstellbar!

Bestimme das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[8]{2}$. [/mm] Dessen Grad ist der Grad dieser Koerpererweiterung.

> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2})):\IQ(\wurzel[8]{2})]=2,[/mm]
> denn [mm]\mathcal{C}=\{1, i\}[/mm] eine Basis

[ok]

> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2})):\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}))]=2,[/mm]
> denn [mm]\mathcal{D}=\{1, \wurzel[4]{-1}\}[/mm] eine Basis,

[ok]

Hier musst du allerdings noch argumentieren, warum es wirklich eine Basis ist, also warum sie linear unabhaengig sind. (Dass sie ein Erzeugendensystem sind bilden kann man schnell sehen.)

Oder anders gesagt: warum [mm] $\sqrt[4]{-1}$ [/mm] nicht bereits im Koerper drinnen ist.

> [mm][\IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}),(-(-1)^{3/4}\wurzel[8]{2})): \IQ((\wurzel[8]{2}),(i\wurzel[8]{2}),(\wurzel[4]{-1}\wurzel[8]{2}))]=2,[/mm]

Nein, der Grad hier ist 1.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Grad des Zerfällungskörpers: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Mo 20.01.2014
Autor: derriemann

Hi, danke für die Antwort

Also [mm] [\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ] [/mm]
Minimalpolynom von [mm] \wurzel[8]{2} [/mm] = [mm] x^{8}-2, [/mm] also grad der Körpererweiterung = grad des Minimalpolynoms = 8

Ok, die anderen beiden Erweiterungen haben Grad 2

[mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] ist nicht im Körper, da keine Möglichkeit besteht, aus a [mm] \in \IQ, \wurzel[8]{2} [/mm] oder [mm] i\wurzel[8]{2} [/mm] die [mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] zu bilden ..

Warum ist denn bei der letzten Körpererweiterung der Grad 1? Ich dachte [mm] \{1, -(-1)^{3/4}\} [/mm] sei eine Basis

LG,
derriemann

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Grad des Zerfällungskörpers: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Di 21.01.2014
Autor: felixf

Moin!

> Also [mm][\IQ(\wurzel[8]{2}):\IQ][/mm]
>  Minimalpolynom von [mm]\wurzel[8]{2}[/mm] = [mm]x^{8}-2,[/mm] also grad der
> Körpererweiterung = grad des Minimalpolynoms = 8

Genau.

> Ok, die anderen beiden Erweiterungen haben Grad 2
>  
> [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm] ist nicht im Körper, da keine Möglichkeit
> besteht, aus a [mm]\in \IQ, \wurzel[8]{2}[/mm] oder [mm]i\wurzel[8]{2}[/mm]
> die [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm] zu bilden ..

Und wieso? Das musst du noch beweisen. Nimm etwa $a + b i$ mit $a, b [mm] \in \IQ(\sqrt[8]{2}) \subseteq \IR$. [/mm] Warum kann $(a + b [mm] i)^2$ [/mm] nicht gleich $i$ sein?

> Warum ist denn bei der letzten Körpererweiterung der Grad
> 1? Ich dachte [mm]\{1, -(-1)^{3/4}\}[/mm] sei eine Basis

[mm] $-(-1)^{3/4} [/mm] = [mm] -\sqrt[4]{-1}^3$ [/mm] liegt bereits in [mm] $\IQ(\sqrt[4]{-1})$. [/mm] Das System ist also nicht linear unabhaengig und somit insbesondere keine Basis.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Grad des Zerfällungskörpers: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:54 Fr 17.01.2014
Autor: felixf

Moin Schadow,

> > Bestimmen Sie für folgende Polynome in [mm]\IQ[x][/mm] jeweils den
> > Grad ihres Zerfällungskörpers über [mm]\IQ:[/mm]
>  >  
> > i)   [mm]x^{4}+4[/mm]
>  >  ii)  [mm]x^{8}-2[/mm]
>  >  iii) [mm](x^{2}+4x+5)(x^{4}+1)[/mm]
>  >  Hallo,
>  >  
> > bin mir leider hierbei ein wenig unsicher:
>  >  
> > i)
>  >  
> > Nullstellen sind: -1-i, -1+i, 1-i, 1+i
>  >  [mm]\Rightarrow \IQ((-1-i),(-1+i),(1-i),(1+i)).[/mm] Da -1 [mm]\in \IQ[/mm]
> > folgt (-1)*(-1-i) und (-1)*(-1+i) [mm]\in \IQ((1+i),(1-i)),[/mm]
> > also [mm]\IQ((1+i),(1-i))[/mm] Zerfällungskörper.
>  >  
> >
> [mm][\IQ((1+i),(1-i)):\IQ]=[\IQ(1+i):\IQ]*[\IQ((1+i),(1-i):\IQ(1+i)][/mm]
>  >  [mm]dim_{\IQ}(\IQ(1+i))=2,[/mm] denn eine Basis ist [mm]\{1, i\}[/mm]
>  >  
> > [mm]dim_{\IQ(1+i)}(\IQ((1-i),(1+i))=1,[/mm] denn eine Basis ist
> > [mm]\{i\}[/mm]
>  
>
> Hmm, warum das?
>  Zeig mir doch mal, wie du zum Beispiel die 1 als
> Vielfaches dieses Basiselements schreibst. ;)

Da $-i [mm] \in \IQ(1+i)$ [/mm] ist, kannst du $1 = i [mm] \cdot [/mm] (-i)$ schreiben :-)

Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ aus [mm] $\IQ(1 [/mm] + i) = [mm] \IQ(i)$ [/mm] ist eine [mm] $\IQ(i)$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(i)$. [/mm]

LG Felix


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