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G-delta mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Mi 26.11.2003
Autor: berger

Moin, Moin!
habe noch ein problem zu g-delta mengen (definiert als solche, die sich als schnittmenge von abzählbaren offenen mengen schreiben lassen).
f sei eine beliebige funktion, von R nach R. zu zeigen ist, das die menge er punkte, an welchen f kontinuierlich ist, G-delta ist.
Gruss
Stefan

        
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G-delta mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mi 26.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan,

versuche es mal mit

[mm]A = \bigcap\limits_{n \in \IN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\bigcup_{x \in \IR} B_x^n}_{\mbox{\scriptsize offen als Vereinigung offener Mengen}},[/mm]

wobei [mm]B_x^n[/mm] eine offene Umgebung von [mm]x[/mm] ist, für die

[mm]f(B_x^n) \subset B_{\frac{1}{n}}(f(x))[/mm]

gilt. Ist jetzt reine Intuition, ich habe es noch nicht ausprobiert, aber das sollte so stimmen.

Buenas noches
Stefan


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G-delta mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Mi 26.11.2003
Autor: berger

weiss nicht, wieso ist die union über Bnx offen? sind es nicht unendlich viele mengen, über die ich vereinige?
gruss
stefan

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G-delta mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Mi 26.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan,

ja, es sind sogar überabzählbar viele Mengen. Das spielt aber keine Rolle:

Beliebige Vereinigung offener Mengen sind wieder offen.

An was du denkst, ist folgendes:

Im Allgemeinen sind nur endliche Schnitte offener Mengen wieder offen. Gegenbeispiel für unendlich viele:

[mm] [0,1] = \bigcap\limits_{n \in \IN} ]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}[ [/mm]

Alles Gute
Stefan


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G-delta mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Fr 28.11.2003
Autor: berger

Also, dann probiere ich das jetzt mal aus, eben habe ich noch mit patrick telefoniert, der hat wohl einen ganz ähnlichen ansatz, mal schauen, ob man das weiterbringen kann.
sonst bin ich aber noch lange nicht fertig mit den g-delta mengen, des weiteren sollen wir nämlich aiuch zeigen, dass jede geschlossene menge als g-delta darstellbar ist.
gruss
stefan

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G-delta mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 28.11.2003
Autor: berger

patrick, den ansatz geht durch, denke ich. Wenn ich An als die menge von allen z definiere, für die gilt, dass es einen radius für einen open ball um z gibt, der impliziert, dass das abbild dieses balls in einem ball um f(z) mit radius kleiner 1/n ist, dann ist An offen.
gruss
stefan

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G-delta mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Fr 28.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan, hallo Patrick,

ja, so geht es auch. Aber mein Ansatz führt auch zum Ziel, ich habe es nachgerechnet. Im Wesentlichen sind die beiden Ansätze identisch.

Alles Gute
Stefan


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G-delta mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Fr 28.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Stefan!

> des weiteren sollen wir nämlich aiuch zeigen, dass jede
> geschlossene menge als g-delta darstellbar ist.

Geht es wieder nur ums Eindimensionale?

Dann ist die Sache recht trivial. Jede offene Menge kann bekanntlich als abzählbare Vereinigung offener Intervalle dargestellt werden.

Ist A abgeschlossen, so ist [mm]A^{\mbox{\scriptsize c}}[/mm] offen und kann man findet Folgen [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm], [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm] mit

[mm] A = \left(A^{\mbox{\scriptsize c}}\right)^{\mbox{\scriptsize c}} = \left( \bigcup_{n \in \IN} ]a_n,b_n[ \right)^{\mbox{\scriptsize c}} = \bigcap\limits_{n \in \IN} \left( ]-\infty,a_n] \cup [b_n,+\infty[\right) = \bigcap\limits_{{n \in \IN} \atop {m \in \IN}} \left( \underbrace{]-\infty,a_n+\frac{1}{m}[ \cup ]b_n-\frac{1}{m},+\infty[}_{\mbox{\scriptsize offen als Vereinigung zweier offener Intervalle}}\right)[/mm].

Dies ist ein abzählbarer Durchschnitt offener Mengen. [ok]

Alles Gute
Stefan


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G-delta mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Fr 28.11.2003
Autor: berger

danke für die antwort zum letzten problem. ist klar so.
saludos
stefan


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