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Fubini: Integralrechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22

Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei eine Aufgabe:

Sei A:= [1,2] x [1,2] und f: A pfeil R, (x,y) pfeil ehoch (x+y)

Berechnen sie das Integral [mm] \integral_{A}^{} [/mm] f(x,y)d(x,y)

Mein Ansatz:
[mm] \integral_{1}^{2} \integral_{1}^{2} [/mm] ehoch (x+y) dx dy

Das problem ist ichh weiss nicht wie ich de funktion nach x integrieren soll.

Könnt ihr mir wenigstens paar tips geben bitte.

Gruß

Kevin22


        
Bezug
Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

Hallo Kevin,

verwende doch bitte den Formeleditor. Damit kann man wirklich alles schreiben. Es gibt zwei Eingabeeditoren, je nachdem, ob Du Dich an "Betatests" beteiligst oder nicht. Beim alten Editor stehen Eingabehilfen unter dem Eingabefenster. Da sind so ziemlich alle möglichen Fälle mit einem Beispiel vertreten. Beim neuen Editor gibt es einen etwas komfortableren Formeleditor.

> Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei eine
> Aufgabe:
>  
> Sei A:= [1,2] x [1,2] und f: A pfeil R, (x,y) pfeil ehoch
> (x+y)

Sei [mm] A:=[1,2]\times[1,2] [/mm] und $f: [mm] A\to\IR, (x,y)\to e^{x+y}$ [/mm]

> Berechnen sie das Integral [mm]\integral_{A}^{}[/mm] f(x,y)d(x,y)
>  
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{1}^{2}[/mm] ehoch (x+y) dx dy
>  
> Das problem ist ichh weiss nicht wie ich de funktion nach x
> integrieren soll.

Du behandelst y wie eine Konstante.

[mm] \int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C [/mm]

> Könnt ihr mir wenigstens paar tips geben bitte.

Die Integrationskonstante C fällt bei einem bestimmten Integral wie hier dann ja gleich wieder weg. Zu einer Stammfunktion gehört sie aber dazu.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22


> Hallo Kevin,
>  
> verwende doch bitte den Formeleditor. Damit kann man
> wirklich alles schreiben. Es gibt zwei Eingabeeditoren, je
> nachdem, ob Du Dich an "Betatests" beteiligst oder nicht.
> Beim alten Editor stehen Eingabehilfen unter dem
> Eingabefenster. Da sind so ziemlich alle möglichen Fälle
> mit einem Beispiel vertreten. Beim neuen Editor gibt es
> einen etwas komfortableren Formeleditor.
>  
> > Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei eine
> > Aufgabe:
>  >  
> > Sei A:= [1,2] x [1,2] und f: A pfeil R, (x,y) pfeil ehoch
> > (x+y)
>  
> Sei [mm]A:=[1,2]\times[1,2][/mm] und [mm]f: A\to\IR, (x,y)\to e^{x+y}[/mm]
>  
> > Berechnen sie das Integral [mm]\integral_{A}^{}[/mm] f(x,y)d(x,y)
>  >  
> > Mein Ansatz:
> > [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{1}^{2}[/mm] ehoch (x+y) dx dy
>  >  
> > Das problem ist ichh weiss nicht wie ich de funktion nach x
> > integrieren soll.
>  
> Du behandelst y wie eine Konstante.
>  
> [mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C[/mm]
>  
> > Könnt ihr mir wenigstens paar tips geben bitte.
>  
> Die Integrationskonstante C fällt bei einem bestimmten
> Integral wie hier dann ja gleich wieder weg. Zu einer
> Stammfunktion gehört sie aber dazu.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

In ordnung jetzt setze ich die grenzen ein:
[mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C = e^{2+y} - e^{1+y}= e^{2+y}dy[/mm]

Soll ich das nach dy integrieren?

Bezug
                        
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Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mi 29.08.2012
Autor: MontBlanc

Hallo,

> > Hallo Kevin,
>  >  
> > verwende doch bitte den Formeleditor. Damit kann man
> > wirklich alles schreiben. Es gibt zwei Eingabeeditoren, je
> > nachdem, ob Du Dich an "Betatests" beteiligst oder nicht.
> > Beim alten Editor stehen Eingabehilfen unter dem
> > Eingabefenster. Da sind so ziemlich alle möglichen Fälle
> > mit einem Beispiel vertreten. Beim neuen Editor gibt es
> > einen etwas komfortableren Formeleditor.
>  >  
> > > Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei eine
> > > Aufgabe:
>  >  >  
> > > Sei A:= [1,2] x [1,2] und f: A pfeil R, (x,y) pfeil ehoch
> > > (x+y)
>  >  
> > Sei [mm]A:=[1,2]\times[1,2][/mm] und [mm]f: A\to\IR, (x,y)\to e^{x+y}[/mm]
>  
> >  

> > > Berechnen sie das Integral [mm]\integral_{A}^{}[/mm] f(x,y)d(x,y)
>  >  >  
> > > Mein Ansatz:
> > > [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{1}^{2}[/mm] ehoch (x+y) dx dy
>  >  >  
> > > Das problem ist ichh weiss nicht wie ich de funktion nach x
> > > integrieren soll.
>  >  
> > Du behandelst y wie eine Konstante.
>  >  
> > [mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C[/mm]
>  >  
> > > Könnt ihr mir wenigstens paar tips geben bitte.
>  >  
> > Die Integrationskonstante C fällt bei einem bestimmten
> > Integral wie hier dann ja gleich wieder weg. Zu einer
> > Stammfunktion gehört sie aber dazu.
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>  >  
> In ordnung jetzt setze ich die grenzen ein:
>  [mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C = e^{2+y} - e^{1+y}= e^{2+y}dy[/mm]

Was machst du denn da ?
$ [mm] \int_{1}^{2}e^{x+y}\mathrm{d}x=e^{x+y}\Big|_{1}^{2}=e^{2+y}-e^{1+y}=e^{1+y}(e-1) [/mm] $

> Soll ich das nach dy integrieren?

Jetzt ja!

LG


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Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22


> Hallo,
>  
> > > Hallo Kevin,
>  >  >  
> > > verwende doch bitte den Formeleditor. Damit kann man
> > > wirklich alles schreiben. Es gibt zwei Eingabeeditoren, je
> > > nachdem, ob Du Dich an "Betatests" beteiligst oder nicht.
> > > Beim alten Editor stehen Eingabehilfen unter dem
> > > Eingabefenster. Da sind so ziemlich alle möglichen Fälle
> > > mit einem Beispiel vertreten. Beim neuen Editor gibt es
> > > einen etwas komfortableren Formeleditor.
>  >  >  
> > > > Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei eine
> > > > Aufgabe:
>  >  >  >  
> > > > Sei A:= [1,2] x [1,2] und f: A pfeil R, (x,y) pfeil ehoch
> > > > (x+y)
>  >  >  
> > > Sei [mm]A:=[1,2]\times[1,2][/mm] und [mm]f: A\to\IR, (x,y)\to e^{x+y}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > > Berechnen sie das Integral [mm]\integral_{A}^{}[/mm] f(x,y)d(x,y)
>  >  >  >  
> > > > Mein Ansatz:
> > > > [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{1}^{2}[/mm] ehoch (x+y) dx dy
>  >  >  >  
> > > > Das problem ist ichh weiss nicht wie ich de funktion nach x
> > > > integrieren soll.
>  >  >  
> > > Du behandelst y wie eine Konstante.
>  >  >  
> > > [mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C[/mm]
>  >  >  
> > > > Könnt ihr mir wenigstens paar tips geben bitte.
>  >  >  
> > > Die Integrationskonstante C fällt bei einem bestimmten
> > > Integral wie hier dann ja gleich wieder weg. Zu einer
> > > Stammfunktion gehört sie aber dazu.
>  >  >  
> > > Grüße
>  >  >  reverend
>  >  >  
> > In ordnung jetzt setze ich die grenzen ein:
>  >  [mm]\int{e^{x+a}\ dx}=e^{x+a}+C = e^{2+y} - e^{1+y}= e^{2+y}dy[/mm]
>  
> Was machst du denn da ?
> [mm]\int_{1}^{2}e^{x+y}\mathrm{d}x=e^{x+y}\Big|_{1}^{2}=e^{2+y}-e^{1+y}=e^{1+y}(e-1)[/mm]
>  
> > Soll ich das nach dy integrieren?
>
> Jetzt ja!
>  
> LG
>  

Aber wenn ich jetzt diesen term integriere , kommt dann nicht das gleiche raus?


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Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 29.08.2012
Autor: Valerie20

Hi!


> Aber wenn ich jetzt diesen term integriere , kommt dann
> nicht das gleiche raus?

>

Diese Frage solltest du dir bzw. uns eigentlich selbst beantworten

können. Aber ohne einen Ansatz von dir, kann man leider nicht sagen ob

bzw. was du verkehrt gemacht hast.

Valerie  


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Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22

Wie integriere ich das:

[mm] \integral_{}^{}e^{1+y}*(e-1) [/mm] dy

Ich weiss ehrlich gesagt nicht wie ich das integrieren soll.

Partielle integration ?

Bezug
                                                        
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Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

Hallo Kevin,

> Wie integriere ich das:
>  
> [mm]\integral_{}^{}e^{1+y}*(e-1)[/mm] dy
>  
> Ich weiss ehrlich gesagt nicht wie ich das integrieren
> soll.
>  
> Partielle integration ?

Nein, wozu?
(e-1) ist eine Zahl, ein fester Faktor. Den kannst Du vor das Integral ziehen. Und was dann bleibt, kennst Du ja schon.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
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Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22


> Hallo Kevin,
>  
> > Wie integriere ich das:
>  >  
> > [mm]\integral_{}^{}e^{1+y}*(e-1)[/mm] dy
>  >  
> > Ich weiss ehrlich gesagt nicht wie ich das integrieren
> > soll.
>  >  
> > Partielle integration ?
>
> Nein, wozu?
>  (e-1) ist eine Zahl, ein fester Faktor. Den kannst Du vor
> das Integral ziehen. Und was dann bleibt, kennst Du ja
> schon.
>  
> Grüße
>  reverend

Ah ok . Jetzt habe ich die grenzen eingesetzt und das stehen:

( [mm] e-1)*e^3 [/mm] - [mm] (e-1)*e^2 [/mm]

Kann ich das jetzt irgendwie vereinfacht schreiben.

>  


Bezug
                                                                        
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Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

Hallo,

> Ah ok . Jetzt habe ich die grenzen eingesetzt und das
> stehen:

>

> ( [mm]e-1)*e^3[/mm] - [mm](e-1)*e^2[/mm]
>  
> Kann ich das jetzt irgendwie vereinfacht schreiben.

Klar. Du klammerst einfach den größten gemeinsamen Teiler aus. Praktischerweise lässt sich danach sogar noch viel leichter noch mehr vereinfachen.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                
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Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22


> Hallo,
>  
> > Ah ok . Jetzt habe ich die grenzen eingesetzt und das
> > stehen:
>  >
>  > ( [mm]e-1)*e^3[/mm] - [mm](e-1)*e^2[/mm]

>  >  
> > Kann ich das jetzt irgendwie vereinfacht schreiben.
>  
> Klar. Du klammerst einfach den größten gemeinsamen Teiler
> aus. Praktischerweise lässt sich danach sogar noch viel
> leichter noch mehr vereinfachen.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Ich habs mal ausgeklammert:

[mm] e^2 [/mm] * [mm] (e^2 [/mm] -e [mm] -e^2 [/mm] +1)

Ist es so in ordnung?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

Hallo,
>  >  > ( [mm]e-1)*e^3[/mm] - [mm](e-1)*e^2[/mm]

>  >  >  
> > > Kann ich das jetzt irgendwie vereinfacht schreiben.
>  >  
> > Klar. Du klammerst einfach den größten gemeinsamen Teiler
> > aus. Praktischerweise lässt sich danach sogar noch viel
> > leichter noch mehr vereinfachen.
>
> Ich habs mal ausgeklammert:
>  
> [mm]e^2[/mm] * [mm](e^2[/mm] -e [mm]-e^2[/mm] +1)
>  
> Ist es so in ordnung?

Hmpf. Nein. Jetzt hast Du [mm] e^2 [/mm] ausgeklammert, den Rest aber ausmultipliziert. Dabei enthalten beide Summanden auch den Faktor (e-1)

[mm] (e-1)*e^3-(e-1)*e^2=(e-1)*e^2*(e-1)=(e-1)^2*e^2 [/mm]

Das ist echt Mittelstufe, früher 8.Klasse, heute 7.
Solche Grundlagen musst Du wirklich nachholen. Sonst brauchst Du Dich weder mit der Integration noch irgendwelchen anderen Fragen höherer Mathematik auseinanderzusetzen. Man erwartet, dass Du das kannst, wie auch Bruchrechnung, Äquivalenzumformungen von Gleichungen, Potenzrechnung, trigonometrische Funktionen und überhaupt den ganzen Stoff der gymnasialen Mittelstufe.

Wieso heißt der Thread eigentlich "Fubini"? Der kam bisher noch gar nicht vor.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                                
Bezug
Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22

Nach meiner Musterlösung soll:
[mm] e^4 -2e^3 +e^2 [/mm] raus.

Hab ich irgendwas falsch gemacht?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mi 29.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Kevin,


> Nach meiner Musterlösung soll:
>  [mm]e^4 -2e^3 +e^2[/mm] raus.

>  
> Hab ich irgendwas falsch gemacht?

Ich sehe keine vollst. Rechnung, die solltest du mal sammeln und posten.

Es ist doch [mm]\int\limits_{y=1}^{y=2}\int\limits_{x=1}^{x=2}{e^{x+y} \ dxdy \ = \ \int\limits_{y=1}^{y=2}{\left[e^{x+y}\right]_{x=1}^{x=2} \ dy[/mm]

[mm]=\int\limits_1^2{\left(e^{2+y}-e^{1+y}\right) \ dy}[/mm]

[mm]=\left[e^{2+y}-e^{1+y}\right]_1^2 \ = \ e^{2+2}-e^{1+2}-\left(e^{2+1}-e^{1+1}\right) \ = \ e^4-2e^3+e^2[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Fubini: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Mi 29.08.2012
Autor: Kevin22

Ah gut danke leute.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Fubini: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:03 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

...und ganz nebenbei:

[mm] e^4-2e^3+e^2=(e-1)^2*e^2 [/mm]

Das solltest Du leicht nachrechnen können, siehe meinen vorigen Post zum Thema Mittelstufe.

Wenn die Lösung als [mm] \approx 21\bruch{253}{310} [/mm] angegeben wäre, müsstest Du auch ermitteln können, dass wahrscheinlich damit gerade Deine Lösung gemeint ist.


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