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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 02.05.2004 | | Autor: | kerstin |
ich soll zu morgen ne Fourieereihe berechnen:
f(t)= t wobei -pi kleiner gleich t kleiner gleich pi ist und dann auch noch untersuchenob sie gleichmäßig oder punktweise konvergiert und ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich das machensoll!hat hier jemand ne Ahnung davon?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 So 02.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo kerstin
> ich soll zu morgen ne Fourieereihe berechnen:
da bist du aber spät dran, weshalb ich auch nicht zu ausführlich einen Dialog halten kann
> f(t)= t wobei -pi kleiner gleich t kleiner gleich pi ist
> und dann auch noch untersuchen ob sie gleichmäßig oder
> punktweise konvergiert und ich habe überhaupt keine Ahnung
> wie ich das machensoll! hat hier jemand ne Ahnung davon?
>
Das mit der Konvergenz muss ich auch nochmals genau nachlesen, ich melde mich dann später wieder. Vielleicht hilft da auch ein Anderer?
Zur Berechnung der Fourierreihe:
Die allgemeine Formel ist ja :
[mm]\bruch{a_0}{2} + \sum_{\nu=1}^{\infty} (a_\nu cos(\nu t) + b_\nu sin(\nu t))[/mm]
wobei
[mm]a_\nu = \bruch{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t) cos(\nu t) \, dt[/mm]
und
[mm]b_\nu = \bruch{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(t) sin(\nu t) \, dt[/mm]
Die Terme mit dem Cosinus stellen dabei den geraden Anteil der Funktion dar, die Terme mit dem Sinus hingegen die ungeraden.
Da deine Funktion ungerade ist, entfallen alle [mm]a_\nu[/mm],
und die [mm]b_\nu[/mm] lassen sich so darstellen:
[mm]b_\nu = \bruch{2}{\pi}\int_{0}^{+\pi} f(t) sin(\nu t) \, dt[/mm]
Bei deinem Beispiel muss man jetzt nur noch die Funktion [mm]f(t)[/mm] einsetzen, welche sich einfach zu [mm]f(t) = t[/mm] ergibt.
Somit ist das Problem nur noch, die
[mm]b_\nu = \bruch{2}{\pi}\int_{0}^{+\pi} t * sin(\nu t) \, dt[/mm]
zu berechnen. Durch Anwendung der Produktintegration (partielle Integration) erhältst du:
[mm]b_\nu = (-1)^{\nu+1} * \bruch{2}{\nu}[/mm]
was zu folgender Fourierreihe führt:
[mm]2*(\bruch{sin(x)}{1} - \bruch{sin(2x)}{2} + \bruch{sin(3x)}{3} - \bruch{sin(4x)}{4} + - ...)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 02.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo kerstin
du hast mir ja via Nachrichtenzentrale angedeutet, dass du das ganze langsam verstehst. Deshalb auch für die Konvergenz nur einen ganz kleine
Anmerkung:
Jede Fourierreihe konvergiert überall gleichmässig, ausser in den Sprungstellen. (Wenn du nämlich [mm] \pi [/mm] in der obigen Fourierreihe einsetzt, dann erhältst du den Wert 0, d.h. bei den Sprungstellen weicht der Wert der Fourierreihe von der gegebenen Funktion um [mm] \pi [/mm] ab). In den Sprungstellen, also bei den Stellen [mm]z*\pi; z=2k+1; k \in \mathbb N[/mm], ist die Konvergenz ungleichmässig.
Reicht dir das, oder muss ich weiterforschen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mo 03.05.2004 | | Autor: | kerstin |
okay danke das riecht schon 
wünsche noch nen schönen Tag!
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