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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 26.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Zeige, dass die Folge ( [mm] \bruch{n^k}{a^n})_{n \in\IN} [/mm] mit a>1 und [mm] k\in\IN [/mm] eine Nullfolge ist.
b) Bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+2)^5 *2^n}{3^{n+2}}.
[/mm]
c) bestimme die häufungspunkte und prüfe, ob Konvergenz vorliegt: [mm] x_n [/mm] = sin ( [mm] \bruch{n \pi}{2})n
[/mm]
mit n [mm] \in [/mm] IN |
a) Also Quotientenkriterium angewendet und vereinfacht ergibt:
[mm] \bruch{(n+1)^k}{an^k}= \bruch{1}{a} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^k. [/mm] Ich frage mich nun, wie ich q angeben soll. Denn wenn a=2 wäre, k=n=1, dann wäre der ganze Ausdruck ja 1, aber q muss ja <1 sein....
b) Ich habe das mal als Folge [mm] x_n [/mm] angesehen und vereinfacht:
dann hätte ich [mm] x_n= \bruch{1}{9} (n+2)^5 [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^n
[/mm]
Ich weiß (habe bewiesen), dass [mm] (2/3)^n [/mm] eine Nullfolge ist, und [mm] (n+2)^5 [/mm] geht gegen Unendlich. Also müsste der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+2)^5 2^n}{3^{n+2}} [/mm] = 0 * [mm] \infty [/mm] = 0 (darf man das so schreiben?).
Ist das als beweis ausreichend?
c) Für n gerade ist der Fall klar, denn dann ist ja sin ( [mm] \bruch{n \pi}{2}) [/mm] = 0, das wäre dann ein Häufungspunkt. Wenn n ungerade ist dann kann der Ausdruck sin ( [mm] \bruch{n \pi}{2} [/mm] ) ja die Werte -1 und 1 annehmen, es wäre also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin ( [mm] \bruch{n \pi}{2}) [/mm] n = [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin ( [mm] \bruch{n \pi}{2}) [/mm] n = - [mm] \infty
[/mm]
D.h. es liegt schon mal keine Konvergenz vor und es gint nur die 0 als Häufungspunkt. Ist das ok? Wie kann man den die Fallunterscheidung für n ungerade formal schreiben?
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Hallo,
ich möchte mal ein paar Gedanken zu b) posten.
Ausdrücke wie "0 mal Unendlich" sind nicht zulässig, da Unendlich ein unbestimmter Ausdruck ist und es zunächst mal überhaupt nicht klar ist, wie so ein Produkt aussieht bzw. sich verhält.
Man kann das aber über l'Hospital lösen. Prinzipiell lässt sich jede Folge als Funktion auffassen und zwar als [mm]a_n:=a(n):\IN\to\IR[/mm], also darf auch die Regel von l'Hospital verwandt werden. Du hast hier den Fall [mm]\bruch{0}{0}[/mm] (Warum? Deine Umformung ist schon super, du kannst das jetzt im Prinzip so schreiben: [mm]a_n=\bruch{1}{9}*(\bruch{2}{3})^n*(n+2)^5=\bruch{1}{9}*(\bruch{2}{3})^n*\bruch{1}{\bruch{1}{(n+2)^5}}=\bruch{1}{9}*\bruch{(\bruch{2}{3})^n}{\bruch{1}{(n+2)^5}}[/mm]), darfst also Zähler und Nenner ableiten. Das darfst du fünf mal tun, dann ist der Nenner konstant und es bleibt die Grenzwertbetrachtung von [mm](\bruch{2}{3})^n[/mm] übrig. Das läuft gegen null. Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 26.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke für die Antowrt. Aber leider hilft das nicht wirklich weiter ...
L'Hospital oder Ableitungen hatten wir noch nicht, dürfen es also auch nicht benutzen....
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Hallo rollroll,
> Danke für die Antowrt. Aber leider hilft das nicht
> wirklich weiter ...
> L'Hospital oder Ableitungen hatten wir noch nicht, dürfen
> es also auch nicht benutzen....
Nun, wenn du Reihen schon hattest, zeige, dass [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(n+2)^5\cdot{}2^n}{3^{n+2}}[/mm] konvergent ist.
Dann muss nämlich [mm]\left( \ \frac{(n+2)^5\cdot{}2^n}{3^{n+2}} \ \right)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge sein.
Alternativ verwende das Sandwich- oder Einschließungslemma!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 26.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Wie kann man denn hier das Einschließungslemma benutzen? Die Folgen [mm] a_n [/mm] = 1/9 [mm] (n+2)^5 [/mm] und [mm] b_n [/mm] = ( [mm] \bruch{2}{3})^n [/mm] haben ja verschiedene grenzwerte....
Was sagt ihr denn zu den teilen a) und c)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:43 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.a) fuer kleine n muss das ja nicht 0 sein [mm] (1+1/n)^k [/mm] konvergiert gegen 1, ist also ab einem N <1+r/2 da a>0 ist a=1+r mit r>0. das Quotientenkriterium muss immer erst ab einem n>N beginnen.
c) hast du richtig,
bei b) wurde ich wieder Quotientenkriterium nehmen, wie gesagt fuer n>N, wobei man zeigen muss, dasss es ein solches N gibt, man muss es nicht ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Das verstehe ich jetzt leider nicht ganz. ich dachte, q müsse stets zwischen 0 und 1 liegen. Wenn ich aber (nach umformung) [mm] \bruch{1}{a} (1+1/n)^n [/mm] hab, dann muss ich ja i-wie ein q angeben. Das [mm] (1+1/n)^k [/mm] gegen 1 kovergiert, ist klar. ich verstehe aber nicht ganz wie du jetzt auf N bzw. a kommst. Kann man das q hier ganz konkret angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das verstehe ich jetzt leider nicht ganz. ich dachte, q
> müsse stets zwischen 0 und 1 liegen. Wenn ich aber (nach
> umformung) [mm]\bruch{1}{a} (1+1/n)^n[/mm] hab,
Nein Du hast [mm]\bruch{1}{a} (1+1/n)^k[/mm]
Das kovergiert gegen 1/a < 1. Wähle irgend ein q mit 1/a<q<1
Dann gibt es ein N mit:
[mm]\bruch{1}{a} (1+1/n)^k \le q[/mm] für n>N
FRED
> dann muss ich ja
> i-wie ein q angeben. Das [mm](1+1/n)^k[/mm] gegen 1 kovergiert, ist
> klar. ich verstehe aber nicht ganz wie du jetzt auf N bzw.
> a kommst. Kann man das q hier ganz konkret angeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, dann wäre Teil a) ja erledigt, oder?
Nochmal zu c) Wie schreibt man denn die Fallunterscheidung in der fallunterscheidung formal am besten auf. Also für den fall dass n ungerade ist, weil ja dann (s.o.) wieder 2 Fälle auftreten...
Wie ich bei b) nun am besten vorgehe, ist mir noch nicht ganz klar. Kann ich nicht direkt aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/9 [mm] (n+2)^5 [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^n [/mm] = 0 folgern, dass der GW des Produkts auch 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal [mm] 0*\infty [/mm] ist ein sinnloser Ausdruck!
Bsp. [mm] 1/n*n^2 [/mm] 1/n gegen 0, [mm] n^2 [/mm] gegen unendlich, Produkt gegen?
oder (1/n)*n oder [mm] (1/n^2)*n
[/mm]
wie du es machst ware der GW immer 0.
du musst also zeigen, dass das Produkt ab irgendeinem N kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist.
Gruss leduart
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Und wie geht man vor, um das zu zeigen?
Und nochmal zur c) Wie schreibt man das denn am besten auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Gibt's Vorschläge?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 30.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kann man denn hier das Einschließungslemma benutzen?
> Die Folgen [mm]a_n[/mm] = 1/9 [mm](n+2)^5[/mm] und [mm]b_n[/mm] = ( [mm]\bruch{2}{3})^n[/mm]
> haben ja verschiedene grenzwerte....
>
> Was sagt ihr denn zu den teilen a) und c)
Du kannst b) auf a) zurückführen. Siehe dazu meine "Alternative zu b)-Antwort"!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich möchte mal ein paar Gedanken zu b) posten.
>
> Ausdrücke wie "0 mal Unendlich" sind nicht zulässig, da
> Unendlich ein unbestimmter Ausdruck ist und es zunächst
> mal überhaupt nicht klar ist, wie so ein Produkt aussieht
> bzw. sich verhält.
>
> Man kann das aber über l'Hospital lösen. Prinzipiell
> lässt sich jede Folge als Funktion auffassen und zwar als
> [mm]a_n:=a(n):\IN\to\IR[/mm], also darf auch die Regel von
> l'Hospital verwandt werden.
Vorsicht: viel wichtiger ist, dass man meist ein $f: [mm] [1,\infty) \to \IR$ [/mm] (ich gehe mal von [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] aus!) so angeben kann, dass [mm] $f_{|\IN}$ [/mm] (also die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IN$) [/mm] erfüllt [mm] $f_{|\IN}:=\tilde{a}\,.$ [/mm] (Was ich hier mit [mm] $\tilde{a}$ [/mm] meine steht weiter unten!)
Du hast oben auch einen weiteren Patzer: Wenn Du eine Folge als unendlichen Vektor (mit abzählbar vielen Komponenten) erstmal auffasst, dann darfst Du nicht die Folge [mm] $a_n$ [/mm] nennen, denn es ist dann [mm] $a_n$ [/mm] der [mm] $n\,$-te [/mm] Eintrag dieses Vektors (die n-te Komponente).
Man würde gerne auch $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] durch [mm] $a(n):=a_n$ [/mm] dann definieren (das macht man manchmal auch: Man sagt dann direkt, dass eine reellwertige Folge [mm] $a=(a_n)_n$ [/mm] nichts anderes ist als eine Abbildung $a: [mm] \IN \to \IR$), [/mm] hat aber meist das "Problem", dass man im Falle der Konvergenz dann eventuell auch gerne den Grenzwert von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] dann [mm] $a\,$ [/mm] nennen würde. Das kann man tun so nach dem Motto "Es ist klar, wann [mm] $a\,$ [/mm] als Funktion [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] und wann [mm] $a\,$ [/mm] den Grenzwert meint - denn in letzterem Falle ist $a [mm] \in \IR$ [/mm] (oder je nach Definition auch [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$)".
[/mm]
Wenn man es genauer unterscheiden will, kann man sowas machen:
Die (reellwertige) Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] identifizieren wir mit der Abbildung [mm] $\tilde{a}: \IN \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $\tilde{a}(n):=a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Aber jetzt mal ein Beispiel:
Wenn man etwa berechnen will [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}\,,$ [/mm] so definiert man etwa die Funktion $f: [mm] (0,\infty) \to \IR$ [/mm] durch [mm] $f(x):=\frac{\sin(1/x)}{1/x}\,.$ [/mm] Mit de l'Hospital kann man [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] berechnen...
(P.S.: Mit einer kleinen Überlegung kann man die Existenz und Berechnung von [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}$ [/mm] auch mit [mm] $g(x):=\sin(x)/x$ [/mm] (für alle $x > [mm] 0\,$) [/mm] durchführen, indem man [mm] $\lim_{x \to 0^+}g(x)$ [/mm] berechnet nach de l'Hospital!)
P.P.S.
Wenn man sagt, dass man für eine Funktion $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] auch [mm] $(a_n)_n:=(a_n)_{n \in \IR}:=a$ [/mm] schreibt, was ich sehr sinnvoll finde (denn dann ist [mm] $a=(a_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}$), [/mm] so benutzt man am besten, falls [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert, ein anderes Symbol als [mm] $a\,$ [/mm] für den Grenzwert. Einer meiner ehemaligen Dozenten (Lehrmeister) schreibt dann
[mm] $$a_\infty:=\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a(n)\,.$$
[/mm]
Aber wie gesagt: Du darfst nicht $a(n): [mm] \IN \to \IR$ [/mm] schreiben, denn das hieße, dass das [mm] $n\,$-te [/mm] Glied der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] selbst eine Folge bzw. eine Funktion [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] ist. (Dann wäre [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge von reellwertigen Folgen, sozusagen!) Das meinst Du aber oben nicht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Alternativgedanken zu a):
> a) Zeige, dass die Folge ( [mm]\bruch{n^k}{a^n})_{n \in\IN}[/mm] mit
> a>1 und [mm]k\in\IN[/mm] eine Nullfolge ist.
es ist
$$a=1+p$$
mit einem $p > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] 2k$ folgt
[mm] $$\frac{n^k}{(1+p)^n}\le \frac{n^k}{\sum_{\ell=0}^{k+1} {n \choose \ell}p^\ell} \le \frac{n^k}{{n \choose k+1}p^{k+1}}=\frac{n^k*(k+1)!}{p^{k+1}*n*(n-1)*\ldots*´(n-k+1)*(n-k)}=\underbrace{\;\;\frac{(k+1)!}{p^{k+1}}\;\;}_{=\text{konstant, da }k \text{ fest}}*\frac{1}{1*\left(1-\frac{1}{n}\right)*\ldots*\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}*\frac{1}{n-k}\,.$$
[/mm]
Weil die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=1*\left(1-\frac{1}{n}\right)*\ldots*\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$ [/mm] erfüllt [mm] $a_n \to [/mm] 1$ (beachte: da steht, weil [mm] $k\,$ [/mm] fest ist, einen FESTE Anzahl von Faktoren - die ANZAHL der Faktoren hängt von [mm] $k\,,$ [/mm] nicht aber von [mm] $n\,,$ [/mm] ab!), wird es ein [mm] $N_{1/2}$ [/mm] so geben, dass jedes [mm] $a_n \in [0,5,\;1,5]$ [/mm] mit $n [mm] \ge N_{1/2}$ [/mm] liegt.
Für alle $n [mm] \ge N_{1/2}$ [/mm] folgt sodann
$$0 [mm] \le \frac{n^k}{(1+p)^n} \le \frac{(k+1)!}{p^{k+1}} *\frac{1}{1/2}*\frac{1}{n-k}=\underbrace{\;\;\frac{2*((k+1)!)}{p^{k+1}}}_{\text{ von }n \text{ unabhängige Konstante, da }k \text{ fest!}}*\frac{1}{n-k}\,.$$
[/mm]
Damit folgt die Behauptung bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
P.S.
Alternativ kann man (im Wesentlichen) genauso zeigen, dass [mm] $a^n/n^k \to \infty$ [/mm] gilt bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] und damit dann die Behauptung folgern!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zu b):
> b) Bestimme [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+2)^5 *2^n}{3^{n+2}}.[/mm]
hier hilft
$$ [mm] \bruch{(n+2)^5 *2^n}{3^{n+2}}=\frac{(n+2)^5}{4}*\left(\frac{2}{3}\right)^{n+2}=\frac{1}{4}m^5*\left(\frac{2}{3}\right)^m=\frac{1}{4}*\frac{m^5}{(3/2)^m}\,.$$
[/mm]
Der Rest folgt dann aus a). (Beachte auch $n [mm] \to \infty \Rightarrow [/mm] m:=n+2 [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke für deine super Ausführungen, Marcel!
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