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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Sa 07.06.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Gegen sei die Funktion z=f(x,y)= [mm] x^2+y^3-3x*y
[/mm]
Ermitteln sie alle lokalen Extremwert von f |
Wie mach ich das am besten? Ich kenne die Extremwertaufgaben für y = .....
Leite ich hier einmal nach x und einmal nach y ab?
Oder mach ich das Über die Kettenregel?
Ich würde es erstmal so probieren:
[mm] z_1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] , [mm] z_1' [/mm] = 2x
[mm] z_2=y^3 [/mm] , y= f(x) , [mm] z_2'= 3y^2*y'
[/mm]
[mm] z_3= [/mm] -3xy , [mm] z_3'=-3(y+xy') [/mm] (über Kettenregel)
und jetzt steh ich aufm schlauch. Wie komme ich nun zu den Extremwerte??
somit hätte ich dann für
[mm] y'=\bruch{x^2-y}{x-y^2}
[/mm]
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Hallo marc,
deine Vorgehensweise ist schon mal richtig! Zuerst bestimmst du den Gradienten der Funktion, der die ersten partiellen Ableitungen enthält.
Das hast du richtig gemacht. Man schreibt das dann so auf:
[mm] grad(z)=\vektor{2x-3y \\ 3y^{2}-3x}
[/mm]
Diesen Vektor setzt man dann gleich dem Nullvektor. Das entstehende GS ist zu lösen:
2x-3y=0
[mm] 3y^{2}-3x=0
[/mm]
Was kommt da raus? Die weitere Vorgehensweise ist dann so: du bestimmst die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix [mm] H_{z}(x_{0}). [/mm] Diese enthält die zweiten partiellen Ableitungen. In diese setzt du die Verdachtsextrempunkte ein und bestimmst die Definitheit der entstehenden Matrix.
Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix postiv definit.
Sind alle Eigenwerte negativ, ist die Matrix negativ definit.
z besitzt dann ein relatives Maximum (Minimum) in [mm] x_{0}, [/mm] falls [mm] H_{z}(x_{0}) [/mm] negativ (positiv) definit ist. Probier es mal auszurechnen. Falls es Fragen gibt, nur zu!
Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 07.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Hört sich nicht gerade leicht an :)
Aber wie kommst du auf den Vektoren( 2x-3y )
und wenn ich das Gleichungssystem löse komm einmal auf [mm] y^2=x [/mm] und [mm] x=\bruch{3}{2} [/mm] y
und wie soll das mit der HEsse matrix gehen ?
Bis du dir sicher das es nicht auch anders zu lösen geht ?
Danke für die Hilfe
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Hallo marc,
für den Fall des [mm] \IR^{2} [/mm] gibt es noch eine einfachere Möglichkeit, die du hier ganz unten beschrieben findest. Das ist etwas leichter.
Im Gradienten stehen die partiellen Ableitungen. Du betrachtest je eine Variable x oder y als konstant und leitest nach der anderen ab. Diese Ableitungen sind die Einträge im Vektor. Diese partiellen Ableitungen leitest du jetzt noch mal jeweils nach x und y ab, sodass du dann vier zweite partielle Ableitungen hast. Das sind dann die Einträge in der Hessematrix. Weißt du wie man die Eigenwerte einer Matrix bestimmt? Ansonsten musst du dir das mal bei Wikipedia anlesen. Das würde hier den Rahmen sprengen!
Grüße Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 07.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Ok ,
die partiellen Ableitungen wären dann für
2x-3y ,f'(x) = 2 , f'(y)= -3
und für
[mm] 3y^2 [/mm] - 3x , f'(x)=-3 , f'(y) = 6x
Sieht die Matrix dann so aus ?
[mm] \begin{pmatrix}
2 & -3 \\
-3 & 6x
\end{pmatrix}
[/mm]
und davon dann die Eingenwerte bestimmen ?
Die Definitheit gibt mir dann auskunft über die Extremwerte? In wiefern
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Hallo,> Ok ,
>
> die partiellen Ableitungen wären dann für
> 2x-3y ,f'(x) = 2 , f'(y)= -3
>
> und für
> [mm]3y^2[/mm] - 3x , f'(x)=-3 , f'(y) = 6x
>
>
> Sieht die Matrix dann so aus ?
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
-3 & 6x
\end{pmatrix}[/mm]
>
Genau so! Und jetzt setzt du die Verdachtspunkte in die Matrix und bestimmst die Definitheit! Inwiefern dir die Definitheit dann Auskunft gibt, kannst du in meiner ersten Antwort noch mal nachlesen!
>
> und davon dann die Eingenwerte bestimmen ?
>
> Die Definitheit gibt mir dann auskunft über die
> Extremwerte? In wiefern
>
>
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 07.06.2008 | | Autor: | marc62 |
ist die notwendige Bedingung für relative Extremwerte nicht [mm] z_x [/mm] = 0 und [mm] z_y [/mm] = 0
das hatten wir ja schon .
2x-3y = 0
[mm] 3y^2 [/mm] -3x =0 -> x [mm] =y^2 [/mm]
-> 2x -3y = [mm] 2y^2 [/mm] -3y = 0 daraus folgt y (2y -3 ) = 0
[mm] y_1 [/mm] = 0 , [mm] y_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
sollte doch soweit richtig sein , oder ?
woher weis ich jetzt ob es sich um einen relativen extemwert habdelt
da [mm] x=y^2 [/mm] -> [mm] x_1 [/mm] = 0 [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
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Hallo,> ist die notwendige Bedingung für relative Extremwerte
> nicht [mm]z_x[/mm] = 0 und [mm]z_y[/mm] = 0
>
> das hatten wir ja schon .
> 2x-3y = 0
> [mm]3y^2[/mm] -3x =0 -> x [mm]=y^2[/mm]
>
> -> 2x -3y = [mm]2y^2[/mm] -3y = 0 daraus folgt y (2y -3 ) = 0
>
>
> [mm]y_1[/mm] = 0 , [mm]y_2[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
Genau, und jetzt bestimmst du noch die x-Werte zu den y-Werten!
>
>
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>
> sollte doch soweit richtig sein , oder ?
> woher weis ich jetzt ob es sich um einen relativen
> extemwert habdelt
Durch Einsetzen der Werte in die Hesse-Matrix (s. andere Nachricht!)
>
>
> da [mm]x=y^2[/mm] -> [mm]x_1[/mm] = 0 [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
>
>
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 07.06.2008 | | Autor: | marc62 |
jetzt muss ich doch nochmal nachfragen :)
was ist der Unterschied zwischen den lokalen und den relativen Extremwerten und was wären die notwendigen Bedingungen für diese (lokalen )
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Hallo,
die Begriffe werden synonym verwendet. Damit ist also das Gleiche gemeint. Es gibt wohl einen Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema. Globale Extrema betreffen die Funktion im ganzen Definitionsbereich. Lokale Extrema hingegen sind nur an einer Stelle des Definitionsbereiches zu betrachten.
Grüße, Daniel
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