Erwartungswert abschätzen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 24.05.2017 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Seien die Zufallsvariablen X,Y gleichverteilt auf (0,1). Man beweise die Abschätzung:
[mm] E(\lvert [/mm] X-Y [mm] \rvert) \leq \frac{1}{2} [/mm] |
Hallo,
bei dieser Abschätzung komme ich nicht so recht weiter. Ich hatte erst gedacht, ich kenne die gemeinsame Dichtefunktion [mm] \( f_{X,Y} [/mm] = [mm] \chi_A \) [/mm] mit [mm] \( [/mm] A = [mm] \{ x,y \in \mathbb{R}^2 | \, 0 < x,y < 1 \} \) [/mm] und kann den Erwartungswert damit berechnen:
[mm] E(\lvert [/mm] X-Y [mm] \rvert) [/mm] = [mm] \int_{\mathbb{R}^2} \chi_A \lvert [/mm] x-y [mm] \rvert \, [/mm] d(x,y) [mm] \\
[/mm]
= [mm] \int_A \lvert [/mm] x-y [mm] \rvert \, [/mm] d(x,y) [mm] \\
[/mm]
= [mm] \int_0^1 \int_0^x [/mm] x -y [mm] \, [/mm] dy dx + [mm] \int_0^1 \int_x^1 [/mm] y - x [mm] \, [/mm] dy dx + [mm] \iint_A [/mm] 0 [mm] \, [/mm] dx dy [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{6} [/mm] + [mm] \frac{1}{6} [/mm] + 0 = [mm] \frac{1}{3} [/mm]
aber die beiden ZV sind ja nicht unabhängig gegeben.
Mir fällt als Abschätzung nur die Dreiecksungleichung ein
[mm] E(\lvert [/mm] X-Y [mm] \rvert) \leq [/mm] E(X) + E(Y)
aber die ist zu schwach um das gewünschte zu zeigen.
Hat jemand ne Idee für mich?
Und wäre die Berechnung für den Erwartungswert richtig, im Falle der stochastischen Unabhängigketi?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 24.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stala!
> bei dieser Abschätzung komme ich nicht so recht weiter.
> Ich hatte erst gedacht, ich kenne die gemeinsame
> Dichtefunktion [mm]\( f_{X,Y}[/mm] = [mm]\chi_A \)[/mm] mit [mm]\([/mm] A = [mm]\{ x,y \in \mathbb{R}^2 | \, 0 < x,y < 1 \} \)[/mm]
> und kann den Erwartungswert damit berechnen:
>
> [mm]E(\lvert[/mm] X-Y [mm]\rvert)[/mm] = [mm]\int_{\mathbb{R}^2} \chi_A \lvert[/mm]
> x-y [mm]\rvert \,[/mm] d(x,y) [mm]\\[/mm]
> = [mm]\int_A \lvert[/mm] x-y [mm]\rvert \,[/mm] d(x,y) [mm]\\[/mm]
> = [mm]\int_0^1 \int_0^x[/mm] x -y [mm]\,[/mm] dy dx + [mm]\int_0^1 \int_x^1[/mm] y -
> x [mm]\,[/mm] dy dx + [mm]\iint_A[/mm] 0 [mm]\,[/mm] dx dy [mm]\\[/mm]
> = [mm]\frac{1}{6}[/mm] + [mm]\frac{1}{6}[/mm] + 0 = [mm]\frac{1}{3}[/mm]
>
> aber die beiden ZV sind ja nicht unabhängig gegeben.
Korrekt im Falle der stochastischen Unabhängigkeit von X und Y. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Ich finde deine Überlegungen recht grobschrittig notiert, aber das ist natürlich Geschmackssache.)
> Hat jemand ne Idee für mich?
Hier hilft ein Trick:
Es gilt [mm] $|X-Y|=|(X-\frac12)+(\frac12-Y)|$.
[/mm]
Wende nun die Dreiecksungleichung an.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mi 24.05.2017 | | Autor: | Stala |
Hallo Tobias,
vielen Dank, darauf wäre ich ja nie gekommen. Mit etwas weiterer Mühe komme ich dann tatsächlich auf die Abschätzung :)
VG
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