Eigenwert, Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IK-Vektorraum, \phi:V->V [/mm] linear, [mm] \lambda \in \IK [/mm] ein Eigenwert von [mm] \phi [/mm] und [mm] E_{\lambda} [/mm] = [mm] ker(\phi [/mm] - [mm] \lambda id_V) [/mm] der entsprechende Eigenraum.
Darüber hinaus wei [mm] \psi:V->V [/mm] eine weitere lineare Abbildung, die mit [mm] \phi [/mm] kommutiert, d.h. [mm] \phi \psi [/mm] = [mm] \psi \phi. [/mm] Zeige, dass [mm] \psi [/mm] die Eigenräume von [mm] \phi [/mm] invariant lässt, d.h. [mm] \psi(E_\lambda) \subseteq E_\lambda [/mm] |
[mm] \lambda [/mm] Eigenwert von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi(v)=\lambda [/mm] v
[mm] v\not=0..Eigenvektor [/mm] von [mm] \phi [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
Sei also v ein beliebiger Eigenvektor von [mm] \phi [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
ZZ.: [mm] \psi(v)\subseteq [/mm] v gilt
Ich wende [mm] \phi [/mm] auf die linke seite an
[mm] \phi (\psi(v)) [/mm] = [mm] \psi(\phi(v))=\psi(\lambda [/mm] *v)= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \psi(v)
[/mm]
=??
oder ist es besser anzufangen mit
[mm] \psi(ker(\phi [/mm] - [mm] \lambda id_V)) \subseteq ker(\phi [/mm] - [mm] \lambda id_V) [/mm] ?
Liebe grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein endlich dimensionaler [mm]\IK-Vektorraum, \phi:V->V[/mm]
> linear, [mm]\lambda \in \IK[/mm] ein Eigenwert von [mm]\phi[/mm] und
> [mm]E_{\lambda}[/mm] = [mm]ker(\phi[/mm] - [mm]\lambda id_V)[/mm] der entsprechende
> Eigenraum.
> Darüber hinaus wei [mm]\psi:V->V[/mm] eine weitere lineare
> Abbildung, die mit [mm]\phi[/mm] kommutiert, d.h. [mm]\phi \psi[/mm] = [mm]\psi \phi.[/mm]
> Zeige, dass [mm]\psi[/mm] die Eigenräume von [mm]\phi[/mm] invariant lässt,
> d.h. [mm]\psi(E_\lambda) \subseteq E_\lambda[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] Eigenwert
> von [mm]\phi[/mm]
> [mm]\phi(v)=\lambda[/mm] v
> [mm]v\not=0..Eigenvektor[/mm] von [mm]\phi[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
>
> Sei also v ein beliebiger Eigenvektor von [mm]\phi[/mm] zum
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
> ZZ.: [mm]\psi(v)\subseteq[/mm] v gilt
Nein. Du mußt zeigen: [mm]\psi(v)\in[/mm] [mm] E_{\lambda}
[/mm]
> Ich wende [mm]\phi[/mm] auf die linke seite an
> [mm]\phi (\psi(v))[/mm] = [mm]\psi(\phi(v))=\psi(\lambda[/mm] *v)= [mm]\lambda[/mm]
> * [mm]\psi(v)[/mm]
> =??
Da hast Du doch was Du brauchst: [mm] \phi (\psi(v)) [/mm] = [mm] \lambda*\psi(v) [/mm] !!!!
FRED
>
> oder ist es besser anzufangen mit
> [mm]\psi(ker(\phi[/mm] - [mm]\lambda id_V)) \subseteq ker(\phi[/mm] -
> [mm]\lambda id_V)[/mm] ?
>
> Liebe grüße
|
|
|
| |
|
SO:
ZZ $ [mm] \psi(v)\in [/mm] $ $ [mm] E_{\lambda} [/mm] $
Sei v beliebige Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \phi(\psi(v))=\psi(\phi(v))=\psi(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \psi(v)
[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> ZZ [mm]\psi(v)\in[/mm] [mm]E_{\lambda}[/mm]
>
> Sei v beliebige Eigenvektor zu [mm]\lambda[/mm] von [mm]\phi[/mm]
Diese beiden Zeilen müssten natürlich noch vertauscht werden.
Statt $v$ Eigenvektor zu [mm] $\lambda$ [/mm] solltest du lieber [mm] $v\in E_{\lambda}$ [/mm] schreiben, damit du $v=0$ nicht gesondert behandeln musst.
> [mm]\phi(\psi(v))=\psi(\phi(v))=\psi(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\psi(v)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
