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Ebenengleichung aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Do 29.01.2015
Autor: abi15

Aufgabe
Im Sonnensystem ist ein rechtwinkeliges Koordinatensystem platziert. Dabei entspricht der Koordinatenursprung der Sonne und die xy-Ebene stellt die sogenannte Ekliptik dar. Der Zwergplanet Pluto befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt P(24|18|6) und bewegt sich um die Sonne in der Bahnebene Ep. In dieser Ebene liegt die Gerade Gp, die Sonne und Pluto verbindet.
Eine Weltraumsonde bewegt sich näherungsweise auf der Geraden Gw:x = [mm] \vektor{20 \\ 20 \\ 5} +t\times \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}, [/mm] t [mm] \in \IR. [/mm]
Alle Koordinaten sind in Astronomischen Einheiten angegeben (1AE = mittlerer Abstand zwischen Sonne und Erde).
a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden Gp an. Zeigen Sie, dass die Geraden Gp und Gw windschief sind.
b) Um Beeinflussung durch andere Himmelskörper zu verringern, wurde der Weg der Weltraumsonde so programmiert, dass er parallel zur Bahnebene Ep des Zwergplaneten verläuft. Ermitteln Sie eine Gleichung der Bahnebene Ep in Koordinatenform mit Hilfe der Richtungsvektoren von Gp und Gw.

Hallo!
Aufgabe a) habe ich gelöst und bin dabei auf folgende Gleichung gekommen: Gp:x = [mm] \lambda \times \vektor{24 \\ 18 \\ 6}. [/mm]
Zu b) dachte ich, dass ich mit den beiden erwähnten Richtungsvektoren einfach eine Parametergleichung bilden könnte und die dann umformen würde. In der Lösung werden die Richtungsvektoren allerdings als Normalenvektoren der Ebene Ep bezeichnet und daraus wird dann sofort die Koordinatengleichung erstellt: 24x + 18y + 6z = 0 bzw -x + 2y + z = 0
Wieso kann man die Richtungsvektoren von Gp und Gw als Normalenvektoren der Ebene Ep sehen? Und welcher Ortsvektor wurde genutzt um d = 0 zu erhalten? Die Sonne?

Danke für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ebenengleichung aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Do 29.01.2015
Autor: angela.h.b.


> Im Sonnensystem ist ein rechtwinkeliges Koordinatensystem
> platziert. Dabei entspricht der Koordinatenursprung der
> Sonne und die xy-Ebene stellt die sogenannte Ekliptik dar.
> Der Zwergplanet Pluto befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im
> Punkt P(24|18|6) und bewegt sich um die Sonne in der
> Bahnebene Ep. In dieser Ebene liegt die Gerade Gp, die
> Sonne und Pluto verbindet.
>  Eine Weltraumsonde bewegt sich näherungsweise auf der
> Geraden Gw:x = [mm]\vektor{20 \\ 20 \\ 5} +t\times \vektor{-1 \\ 2 \\ 1},[/mm]
> t [mm]\in \IR.[/mm]
>  Alle Koordinaten sind in Astronomischen
> Einheiten angegeben (1AE = mittlerer Abstand zwischen Sonne
> und Erde).
>   a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden Gp an. Zeigen
> Sie, dass die Geraden Gp und Gw windschief sind.
>  b) Um Beeinflussung durch andere Himmelskörper zu
> verringern, wurde der Weg der Weltraumsonde so
> programmiert, dass er parallel zur Bahnebene Ep des
> Zwergplaneten verläuft. Ermitteln Sie eine Gleichung der
> Bahnebene Ep in Koordinatenform mit Hilfe der
> Richtungsvektoren von Gp und Gw.
>  Hallo!
>   Aufgabe a) habe ich gelöst und bin dabei auf folgende
> Gleichung gekommen: Gp:x = [mm]\lambda \times \vektor{24 \\ 18 \\ 6}.[/mm]
>  
> Zu b) dachte ich, dass ich mit den beiden erwähnten
> Richtungsvektoren einfach eine Parametergleichung bilden
> könnte

Hallo,

[willkommenmr].

Ja,
Du kennst zwei Richtungsvektoren der Ebene sowie den Punkt P
und kannst damit die Parametergleichung aufstellen
oder auch gleich einen Normalenvektor ausrechnen und dann die Normalform/Koordinatenform hinschreiben.


> und die dann umformen würde. In der Lösung werden
> die Richtungsvektoren allerdings als Normalenvektoren der
> Ebene Ep bezeichnet

Da hast Du etwas falsch verstanden.

> und daraus wird dann sofort die
> Koordinatengleichung erstellt: 24x + 18y + 6z = 0 bzw -x +
> 2y + z = 0

Daß diese Gleichung nicht die Gleichung der Ebene sein kann, in welcher sich der Punkt P befindet, merkst Du allein schon daran, daß seine Koordinaten die Gleichung der Ebene nicht lösen.

Ich bin mir sicher, daß in Deiner Lösung dies getan wurde:

gesucht wurde ein Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{x_n\\y_n\\z_n} [/mm] der Ebene [mm] E_P. [/mm]

Man kann ihn mit dem Kreuzprodukt bestimmen
oder
indem man sich überlegt, daß [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht ist zu [mm] \vektor{24 \\ 18 \\ 6} [/mm] und zu [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}. [/mm]

Aus dieser Überlegung und dem Wissen "wenn senkrecht zueinander, dann Skalarprodukt =0" bekommt man die beiden Gleichungen

[mm] \vektor{24 \\ 18 \\ 6}*\vektor{x_n\\y_n\\z_n}=0 [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}*\vektor{x_n\\y_n\\z_n}=0, [/mm]

also das lineare Gleichungssystem

24x + 18y + 6z = 0
-x + 2y + z = 0.

Alle vom Nullvektor verschiedenen Lösungen sind Normalenvektoren der gesuchten Ebene.
Eine Lösung dieses LGS ist z.B.  [mm] \vec{n}=\vektor{-1\\5\\-11}. [/mm]

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Ebenengleichung aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 29.01.2015
Autor: abi15

Hallo, danke für die Antwort, jetzt habe ich es verstanden! :)
Ich habe den Normalenvektor jetzt noch einmal errechnet und zwar mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
[mm] \vektor{24 \\ 18 \\ 6} \times \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{ 18 \times 1 - 6 \times 2 \\ 6 \times (-1) -24 \times1 \\ 24 \times 2 - 18 \times (-1)} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -30 \\ 66} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -5 \\ 11} [/mm] . Daraus ergibt sich dann: E:x = x -5y + 11z = 0
Das ist dann auch eine mögliche Lösung, weil [mm] \vektor{ -1 \\ 5 \\ -11} [/mm] und [mm] \vektor{ 1 \\ -5 \\ 11} [/mm] vielfache sind, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Ebenengleichung aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Do 29.01.2015
Autor: angela.h.b.


> Hallo, danke für die Antwort, jetzt habe ich es
> verstanden! :)

> Ich habe den Normalenvektor jetzt noch einmal errechnet und
> zwar mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
>  [mm]\vektor{24 \\ 18 \\ 6} \times \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{ 18 \times 1 - 6 \times 2 \\ 6 \times (-1) -24 \times1 \\ 24 \times 2 - 18 \times (-1)}[/mm]
> = [mm]\vektor{6 \\ -30 \\ 66}[/mm] [mm] \red{=}[/mm]  [mm]\vektor{1 \\ -5 \\ 11}[/mm] .

Hallo,

Du darfst dort kein "=" schreiben, denn die Vektoren sind nicht gleich.

Du kannst schreiben: "==> [mm] \vektor{1 \\ -5 \\ 11} [/mm] ist ein Normalenvektor von E":


> Daraus
> ergibt sich dann: E:x = x -5y + 11z = 0

Daraus ergibt sich für E: [mm] \qquad [/mm] x -5y + 11z = 0

>  Das ist dann auch eine mögliche Lösung, weil [mm]\vektor{ -1 \\ 5 \\ -11}[/mm]
> und [mm]\vektor{ 1 \\ -5 \\ 11}[/mm] vielfache sind, richtig?

Ja.
Du könntest es auch mit 4711 multiplizieren, wenn Du Freude dran hättest.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Ebenengleichung aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:22 Do 29.01.2015
Autor: abi15

Hallo, danke für die Hilfe! Und das = kommt nicht wieder vor :) LG

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