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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 27.04.2012 | | Autor: | helene |
Hallo zusammen,
habe nächste Woche eine mündliche Prüfung in Differentialgeometrie.
Bei mir ist folgende Fragestellung aufgekommen:
Wie haben verschiedene Flächen im R³. Als Bsp: S² und der 1-Torus. Wie kann ich vorgehen, wenn ich beweisen möchte, dass es sich um zwei verschiedene Flächen handelt?
Meine Idee: da wir ja wissen wollen, wie die Flächen "von außen betrachtet" aussehen, würde ich Größen der äußeren Geometrie verwenden, da ich ja das "Verhalten" der Flächen im R³ untersuchen möchte. Meine Idee wäre, dass man die Flächen mit Hilfe der Weingartenabbildung untersuchen würde, dh. Hauptkrümmung, Hauptkrümmungsrichtung ect. bestimmen und sehen, dass sie unterschiedlich sind.
Bin mir aber leider nicht sicher, ob man nicht doch Größen der inneren Geometrie wie zB die geodätische Krümmung zu Hilfe nehmen sollte.
Kann mir jemand irgendwie weiterhelfen??
Viele Grüße
Helene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Sa 28.04.2012 | | Autor: | SEcki |
> Wie haben verschiedene Flächen im R³. Als Bsp: S² und
> der 1-Torus. Wie kann ich vorgehen, wenn ich beweisen
> möchte, dass es sich um zwei verschiedene Flächen
> handelt?
In welchem Sinne verschieden? Homöomorphieklassen? Isomorpheklassen?
> Meine Idee: da wir ja wissen wollen, wie die Flächen "von
> außen betrachtet" aussehen, würde ich Größen der
> äußeren Geometrie verwenden, da ich ja das "Verhalten"
> der Flächen im R³ untersuchen möchte. Meine Idee wäre,
> dass man die Flächen mit Hilfe der Weingartenabbildung
> untersuchen würde, dh. Hauptkrümmung,
> Hauptkrümmungsrichtung ect. bestimmen und sehen, dass sie
> unterschiedlich sind.
Wenn du das untersuchen willst, dann sind diese Größen von Bedeutung. Normalerweise interesiert man sich aber für intrinsische Größen.
> Bin mir aber leider nicht sicher, ob man nicht doch
> Größen der inneren Geometrie wie zB die geodätische
> Krümmung zu Hilfe nehmen sollte.
Die klassische Aufgabe "welche Flächen (dh Homöomorphieklassen) gibt es?" braucht Größen unabhängig von der Einbettung. Also Größen der inneren Geometrie, die sichj im Nachhinein als Unabhängig von der Geometrie herausstellen - und somit dann Homöomorphie (oder Diffeomoprhie-)invarianten sind.
SEcki
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